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Cuándo una exponencial define una medida15 min de lectura
Condiciones de Novikov y Kazamaki explicadas
Aprende cómo los criterios de Novikov y Kazamaki convierten una exponencial estocástica local en una densidad válida para cambiar de medida
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Novikov y Kazamaki son pruebas suficientes para que una exponencial de martingala local continua sea una martingala verdadera de esperanza uno en un horizonte. Esa propiedad permite usarla como densidad de probabilidad
Una martingala local positiva puede perder masa
Para una martingala local continua M, su exponencial es Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)
Z es una martingala local positiva y por ello una supermartingala, así que E[Z_t] puede caer por debajo de uno
Si pierde masa, Z_T no sirve como densidad de probabilidad sin alterar la construcción pretendida
Cambiar de medida exige martingala verdadera
Una densidad finita requiere Z_T ≥ 0 y E[Z_T] = 1, con un proceso de densidad dado por esperanzas condicionales
La integrabilidad uniforme controla la familia hasta el horizonte y respalda cambios coherentes en tiempos de parada
Escribir una exponencial no demuestra que normalice a uno ni que defina una medida equivalente
Novikov controla la variación cuadrática exponencial
Un criterio común en un horizonte T es E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞
Para M = ∫θ_s dW_s, el corchete es ∫₀ᵀθ_s²ds y se pide integrabilidad exponencial del desplazamiento cuadrático acumulado
Es práctico porque usa variación cuadrática, pero puede ser más fuerte de lo necesario
Kazamaki examina la propia martingala
Los criterios tipo Kazamaki controlan exp(M/2), a menudo mediante submartingala o integrabilidad uniforme en tiempos de parada
Pueden demostrar martingala verdadera cuando el momento exponencial del corchete de Novikov es infinito
Las formulaciones varían con horizonte y versión del teorema; deben declararse criterio y signo usados
Fallar un criterio no implica fallar la densidad
Ambas condiciones son pruebas suficientes, no definiciones ni condiciones generalmente necesarias
Si falla Novikov, Kazamaki, BMO, un cálculo directo o un argumento específico aún pueden funcionar
Si fallan todas las pruebas cómodas, no puede suponerse la propiedad: puede existir una martingala local estricta
Las finanzas dependen de la esperanza uno
Los cambios de deriva de Girsanov y densidades neutrales al riesgo usan exponenciales del precio de riesgo
Si la densidad es local estricta, la medida de valoración propuesta puede ser defectuosa o incoherente entre horizontes
El problema aparece también en estimadores de verosimilitud, filtrado, dualidad de utilidad y modelos con burbujas
Horizonte, saltos y localización cambian la prueba
Una condición válida para cada T finito no tiene por qué dar integrabilidad uniforme en horizonte infinito
La localización prueba identidades locales, pero no recupera por sí sola la esperanza perdida al tomar límites
Las exponenciales con saltos necesitan positividad e integrabilidad propias; no se copia sin cambios la fórmula continua
Preguntas frecuentes
¿Qué es la condición de Novikov?
Para una martingala local continua M en [0,T], una forma común exige que E[exp(½⟨M⟩_T)] sea finita
¿Es necesaria la condición de Novikov?
No. Es suficiente y la exponencial puede ser martingala verdadera aunque ese momento diverja
¿Kazamaki es más débil que Novikov?
Puede verificar casos que Novikov no cubre, aunque la comparación exacta depende de versiones e hipótesis
¿Por qué importan en la valoración de opciones?
Ayudan a probar que la exponencial de Girsanov tiene esperanza uno y define la medida de valoración buscada
Fuentes
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