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Cambio de medida12 min de lectura
Teorema de Girsanov en la valoración de opciones
Aprende cómo Girsanov cambia la deriva browniana entre medidas, conserva la difusión y produce la dinámica neutral al riesgo
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
El teorema de Girsanov describe cómo un cambio de medida absolutamente continuo desplaza la deriva de un proceso browniano y conserva su término de difusión. Bajo condiciones declaradas, conecta la dinámica física con la de valoración
La dinámica física contiene rentabilidad esperada
Bajo la medida física P, una acción puede seguir dS/S = μdt + σdWᴾ, donde μ es la rentabilidad esperada modelada
La deriva importa para previsión y cartera, pero el valor sin arbitraje no debe depender de una estimación arbitraria de μ en un modelo completo
Pasar de probabilidades físicas a precios exige una transformación válida, no cambiar un símbolo
Un proceso de densidad repondera trayectorias
La derivada de Radon–Nikodym define cómo la nueva medida pondera sucesos respecto de la anterior hasta cada instante
En modelos brownianos suele ser una exponencial estocástica construida con un proceso llamado λ
La densidad debe ser positiva y tener esperanza uno; si no, puede no definir una medida equivalente
El movimiento browniano recibe una deriva compensatoria
Con densidad válida, Wᵠ = Wᴾ + ∫λdt es browniano bajo Q usando una convención habitual de signo
Sustituir dWᴾ = dWᵠ − λdt desplaza la deriva de todo proceso expuesto al mismo choque
La volatilidad que multiplica dW no desaparece. El cambio equivalente altera deriva, no covarianza instantánea
La deriva neutral sigue financiación y carry
Para una acción sin dividendo, λ hace que la deriva Q sea el tipo corto r. Con dividendo q suele ser r − q
El activo de retorno total descontado se vuelve martingala Q y un pago replicable se valora con su esperanza Q descontada
No afirma que la acción gane r en el mundo real, sino cómo aparece su deriva bajo la medida de valoración
Lambda representa el precio del riesgo browniano
En el caso constante sin dividendos, λ = (μ − r) / σ bajo la convención indicada
Con varias fuentes, un vector de precios del riesgo cambia la deriva mediante la matriz de cargas de volatilidad
En mercados incompletos pueden quedar componentes indeterminados y existir varias medidas martingala admisibles
El teorema exige integrabilidad
Condiciones como Novikov o Kazamaki ayudan a que la exponencial sea una martingala verdadera y no solo local
La equivalencia conserva sucesos de probabilidad cero; no puede volver posible una trayectoria imposible y seguir siendo equivalente
Coeficientes explosivos, martingalas locales estrictas, horizontes infinitos o poca regularidad pueden invalidar una aplicación informal
Saltos e implementación requieren una transformación más amplia
En procesos con saltos, cambiar medida puede alterar intensidad y distribución de tamaños además de la deriva continua
Un modelo calibrado fija parámetros neutrales, pero conectarlos con estimaciones físicas aún requiere un modelo de prima de riesgo
Declare medida original y final, densidad, signo, numerario, horizonte y condiciones antes de interpretar la dinámica
Preguntas frecuentes
¿Qué hace el teorema de Girsanov en finanzas?
Permite cambiar de medida para mover la deriva browniana y convertir precios negociables descontados en martingalas
¿Girsanov cambia la volatilidad?
En un cambio equivalente de difusión desplaza la deriva y conserva el coeficiente instantáneo y la covarianza
¿Qué es el precio de mercado del riesgo?
Es el proceso de la densidad que convierte exposición al riesgo en ajuste de deriva entre medidas física y de valoración
¿Puede usarse Girsanov con saltos?
Sí, mediante resultados más generales, pero también pueden cambiar intensidad y ley de tamaños y deben especificarse
Fuentes
Aplique esta idea a una opción
Elija un contrato y un objetivo para mantener visibles los supuestos de precio, tiempo y volatilidad en un mismo análisis
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