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Densidad de medida12 min
Derivada de Radon–Nikodym en finanzas: cómo cambiar los pesos de probabilidad
Aprende cómo la derivada de Radon–Nikodym repondera probabilidades, convierte expectativas y conecta medidas físicas y neutrales al riesgo
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
La derivada de Radon–Nikodym dQ/dP es una densidad no negativa que indica el peso de Q frente a P. Convierte expectativas de Q en expectativas ponderadas de P y conecta medidas física y de valoración sin cambiar sucesos posibles
La continuidad absoluta permite una densidad
Q es absolutamente continua respecto de P, Q ≪ P, si todo suceso nulo bajo P también es nulo bajo Q
El teorema garantiza entonces una densidad no negativa Z = dQ/dP, única salvo en conjuntos P-nulos
Si P y Q son equivalentes, cada una es absolutamente continua respecto de la otra y coinciden sobre qué sucesos son imposibles
La densidad distribuye probabilidad por estados
Para todo suceso A, Q(A) = E_P[Z 1_A]. Si ambas son probabilidades, E_P[Z] = 1
Un Z mayor que uno aumenta el peso relativo del resultado bajo Q; un Z menor que uno lo reduce
No es una derivada respecto del tiempo o precio, sino la densidad de una medida con relación a otra
Las expectativas cambian multiplicando
Para un pago integrable X, E_Q[X] = E_P[ZX] bajo las condiciones de integrabilidad necesarias
La identidad cambia pesos, no el pago ni el espacio muestral: el mismo X se promedia de otra forma
Si las medidas son equivalentes y Z es positiva, dP/dQ = 1/Z casi seguramente bajo Q; también existe una regla de la cadena
Es la versión continua de una razón de verosimilitud
En estados finitos, Z_s = q_s/p_s cuando p_s es positiva, de modo que q_s = p_s Z_s
Es la misma lógica del muestreo de importancia: simular con una distribución y corregir la media mediante una razón
Densidades muy variables concentran peso en pocos estados y pueden volver inestable una estimación Monte Carlo
El proceso de densidad revela información en el tiempo
Dada Z_T, se define Z_t = E_P[Z_T | F_t], un martingala no negativo bajo P
Si Z_t es positiva, E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t
La filtración determina qué parte de la reponderación final resulta visible con la información del instante t
Las medidas de valoración usan una densidad equivalente
Los modelos buscan una Q equivalente bajo la que los precios negociados debidamente descontados sean martingalas locales
Girsanov describe cómo la densidad cambia la deriva browniana conservando la incertidumbre de difusión y los sucesos nulos
Con la cuenta monetaria como numerario, el factor estocástico de descuento es descuento por dQ/dP bajo supuestos adecuados
Interpretar y estimar exige comprobar condiciones
La Q neutral al riesgo es una medida de valoración, no necesariamente un pronóstico de frecuencias reales bajo P
Una densidad debe ser no negativa, integrar uno, adaptarse a la filtración y martingalizar los activos descontados previstos
Declare medidas, numerario, horizonte, dirección de la densidad, integrabilidad y diagnósticos numéricos antes de transformar expectativas
Preguntas frecuentes
¿Qué es la derivada de Radon–Nikodym en términos sencillos?
Es una razón de verosimilitud que muestra cuánto más o menos peso da una medida a cada resultado que otra
¿Por qué Q debe ser absolutamente continua respecto de P?
Porque una densidad relativa a P no puede recuperar probabilidad positiva para un suceso que P considera imposible
¿dQ/dP es una derivada temporal?
No. Es una densidad entre medidas; el proceso temporal se forma mediante expectativas condicionales de la densidad final
¿Cómo se relaciona con la valoración neutral al riesgo?
Cambia los pesos físicos por pesos de valoración para que los precios descontados puedan ser martingalas bajo Q
Fuentes
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