Itô 등거리로 확률적 적분 분산 이해하기

예측가능한 과정 H에 대해 핵심 항등식은 E[(∫₀ᵀ H_t dW_t)²] = E[∫₀ᵀ H_t² dt]입니다

조건이 맞으면 확률적 적분의 조건부 평균은 0이므로, 양변은 같은 분산을 나타냅니다

이는 미분기호의 곱셈 규칙이 아니라 단순 과정의 극한으로 정의되는 L² 항등식입니다

H가 0부터 0.25년까지 2이고 이후 0이라면 적분은 2(W_0.25 - W_0)입니다

분산은 4 × 0.25 = 1이며, H²의 시간 적분과 정확히 같습니다

서로 겹치지 않는 구간에서는 독립적인 브라운 증분의 교차항 기댓값이 사라집니다. 적절한 H에서는 이 계산이 극한까지 유지됩니다

확산 헤지에서 브라운 충격에 남은 노출 H_t는 ∫ H_t dW_t로 누적됩니다

Itô 등거리는 모델상 평균제곱 헤지 오차가 마지막 델타나 평균 변동성 하나가 아니라 전체 노출 경로에 달렸음을 보여줍니다

같은 최종 오차를 보인 두 헤지도 장중 노출이 다르면 기대 제곱오차는 크게 달라질 수 있습니다

몬테카를로 증분은 보통 H_t√Δt Z 꼴이며, Z의 평균은 0이고 분산은 1입니다

조건부 분산은 H_t²Δt이고 이를 합한 값이 등거리의 이산형 대응물입니다

시간 격자를 바꿀 때는 경로 수만 늘리기보다 H² 적분 예산과 표본오차를 함께 비교해야 합니다

여러 브라운 요인이 있으면 분산에는 공분산 행렬과 교차 노출항이 들어갑니다

점프, 이산 리밸런싱, 거래비용, 오래된 호가, 모수 오차는 이 항등식으로 사라지지 않습니다

등거리는 제곱적분 가능한 확산 부분을 점검할 뿐, 수익을 예측하거나 거래 규칙의 안전성을 보장하지 않습니다