옵션 가격결정의 Itô 보조정리 이해하기

매끄러운 결정론적 경로 x(t)에서 f(t, x)의 변화는 시간 미분과 x에 대한 1차 미분으로 국소적으로 설명됩니다

확산 경로는 연속이지만 보통 의미로 매끄럽게 미분할 수 없습니다. 짧은 구간의 무작위 증분은 시간의 제곱근 크기로 움직입니다

따라서 Taylor 전개의 2차 항이 일반 시간항만큼 커집니다. 이를 버리면 옵션 가격에서 감마로 나타나는 효과도 사라집니다

브라운 증분을 dW라고 쓰면 Itô 계산에서 dW²은 dt에 기여하고 dt²과 dt·dW는 필요한 차수에서 사라집니다

이는 격자를 촘촘히 할 때 브라운 증분 제곱의 합이 경과시간으로 수렴한다는 경로상의 극한을 줄여 쓴 표현입니다

모든 무작위 충격의 제곱이 곧 시간이라는 보통 대수식이 아닙니다. 확률적분과 그 극한 관행에 속한 규칙입니다

dS = μSdt + σSdW이고 옵션가치가 V(t, S)라면 Itô 보조정리로 국소 확률변화를 구할 수 있습니다

표류항은 Vₜ + μS Vₛ + ½σ²S²Vₛₛ이고 무작위항은 σS VₛdW입니다. 아래첨자는 편미분을 뜻합니다

델타 Vₛ는 1차 충격에 곱해지고 감마 Vₛₛ는 이차변동을 통해 시간 차수의 표류항에 들어갑니다

무작위 가격충격의 조건부 평균이 0이어도 볼록성 때문에 상승과 하락이 옵션가치에 미치는 영향은 비대칭입니다

½σ²S²Gamma 항은 이 국소 곡률 효과입니다. 변동성이 높으면 곡선형 지급구조에 모형상 가치가 쌓이는 속도가 커집니다

롱 감마의 수익을 보장한다는 뜻은 아닙니다. 세타, 지급 프리미엄, 실현경로, 점프, 스큐와 비용이 실제 손익을 정합니다

옵션 하나와 마이너스 델타만큼의 기초자산을 결합하면 확산 가정 아래 dW 항이 순간적으로 상쇄됩니다

남은 국소 포트폴리오는 모형상 무위험이므로 배당이나 캐리를 일관되게 처리한 뒤 무위험금리를 벌어야 합니다

이 조건을 대입하면 μ가 사라지고 Black–Scholes 편미분방정식이 나옵니다. 수익률 예측이 아니라 복제가 가격관계를 정합니다

상관된 확산이 여러 개면 공분산으로 가중한 교차 2차 미분항이 생깁니다. 이 항이 상관과 결합 곡률을 연결합니다

상태과정을 바꾸면 생성자와 가격방정식도 달라집니다. 국소·확률적 변동성과 금리 모형도 관련 Itô 전개를 사용합니다

함수가 충분히 매끄럽지 않다면 경계와 꺾임을 약한 해, 일반화된 해나 수치방법으로 다뤄야 합니다

점프과정은 연속 브라운 규칙만으로 다룰 수 없습니다. 변화 공식에 불연속 점프항이 추가되고 적분미분방정식으로 이어지기도 합니다

실제 헤지는 이산적이고 비용이 듭니다. 무한소 dW 항을 지워도 갭, 유동성, 계수와 체결 위험은 남습니다

Itô 보조정리로 모형 메커니즘을 이해하되 가격이나 그릭스를 해석하기 전에 과정, 매끄러움, 측도와 거래 가정을 밝혀야 합니다