Novikov 조건과 Kazamaki 조건 이해하기

연속 국소 마팅게일 M의 확률지수는 Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)입니다

Z는 양의 국소 마팅게일이므로 초마팅게일이고 E[Z_t]가 초기값 1보다 작아질 수 있습니다

질량을 잃으면 Z_T를 원래 의도대로 확률밀도에 사용할 수 없습니다

유한 기간 밀도에는 Z_T ≥ 0과 E[Z_T] = 1이 필요하고 밀도과정은 조건부기대값으로 이어져야 합니다

균등적분가능성은 기간 전체의 변수군을 통제하고 정지시간에서도 일관된 측도변환을 뒷받침합니다

지수식을 적었다는 사실만으로 정규화가 1이거나 동등측도를 정의한다는 증명이 되지는 않습니다

고정된 유한 기간 T에서 흔히 쓰는 조건은 E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞입니다

M = ∫θ_s dW_s이면 괄호과정은 ∫₀ᵀθ_s²ds이므로 누적된 드리프트 이동 제곱의 지수적분가능성을 검사합니다

이차변차만 보면 되어 편리하지만 실제 마팅게일성에 필요한 것보다 강할 수 있습니다

Kazamaki형 조건은 exp(M/2)를 통제하며 흔히 정지시간에 대한 부분마팅게일 또는 균등적분가능 조건으로 표현합니다

Novikov의 지수 이차변차 적률이 무한인 경우에도 진정한 마팅게일 성질을 보일 수 있습니다

기간과 정리 버전에 따라 정확한 문장이 달라지므로 사용한 판정법과 부호규약을 명시해야 합니다

두 조건은 충분한 검사일 뿐 정의도 아니고 일반적인 필요조건도 아닙니다

Novikov가 실패해도 Kazamaki, BMO, 직접 기대값 계산이나 모형별 논증이 성공할 수 있습니다

편리한 검사가 모두 실패했다면 마팅게일성을 그냥 가정할 수 없고 엄격 국소 마팅게일 가능성이 남습니다

Girsanov 드리프트 변경과 위험중립 밀도는 시장위험가격으로 만든 확률지수를 자주 사용합니다

밀도가 진정한 마팅게일이 아니라 엄격 국소 마팅게일이면 제안한 가격측도가 결함이 있거나 기간별로 불일치할 수 있습니다

같은 문제는 우도비 추정량, 필터링, 효용 쌍대성 및 버블과 비슷한 동학에서도 나타납니다

모든 유한 T에서 성립하는 조건도 무한 기간의 균등적분가능성을 보장하지 않을 수 있습니다

국소화는 국소 항등식을 증명하지만 극한에서 사라진 기대질량을 저절로 복구하지는 않습니다

점프 확률지수에는 점프를 반영한 양수성과 적분가능성 조건이 필요하며 연속형 Novikov 식을 그대로 복사해서는 안 됩니다