Stratonovich積分とItô積分の違い

Itô積分は各時間区間の左端の情報を使います。被積分関数が予測可能となり、標準条件でマルチンゲール性を持つ理由です

Stratonovich積分は中点型の極限を使います。滑らかな座標変換では通常の連鎖律により近い形になります

どちらが自動的に現実的ということはありません。モデルの極限、情報の流れ、表したい量が約束を決めます

一次元ではStratonovich形dX = a(X)dt + b(X)∘dWは、Itô形dX = [a(X) + 1/2 b(X)b'(X)]dt + b(X)dWになります

追加項は任意の補正ではありません。状態依存の被積分関数とブラウン運動の二次共変動から生まれます

bが定数ならb'は0で両者は一致します。状態依存ボラティリティで約束を混ぜると結果が変わります

b(X) = σXでStratonovichドリフトが0なら、等価なItôドリフトは1/2σ²Xです

σが40%なら、この補正は年率でXの8%になります

これは期待株価収益率やアルファではなく表現の変換です。測度、配当、金利、制約は別に定める必要があります

連続時間の資産価格モデルは、次の衝撃の前に使える情報へ適応する自己金融戦略を使うため、一般にItô過程を採用します

Itôの補題、マルチンゲール測度、標準的なBlack–Scholes導出もこの約束で書かれます

色付き雑音の物理的極限から出たStratonovich方程式は、Itôの価格計算と合わせる前に変換します

方程式を正しく変換しても、ジャンプ、確率ボラティリティ、流動性、離散ヘッジ、パラメータ誤差は残ります

多変量系では、スカラーの1/2bb'ではなく完全なヤコビアンと共分散構造が必要です

SDE、積分の約束、確率測度、時間単位、雑音の解釈を明示してから結果を比較してください