オプション価格理論で学ぶマルチンゲール

過程を Mₜ、時点 t の情報を Fₜ とすると、後の時点 u に対して E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ を満たし、必要な可積分条件も満たします

条件付きである点が重要です。無条件の長期平均だけでなく、現在までに判明した情報をすべて使う予測です

定義には確率測度と情報フィルトレーションが伴います。同じ過程でも測度が変わればマルチンゲールでなくなることがあります

公正なゲームとは次の値が現在値と同じことではなく、正負の条件付き変化が期待値で釣り合うことです

必要な期待値が存在すれば、大きなジャンプ、広い分布、経路依存の不確実性もこの性質と両立します

独立増分も意味しません。条件付き平均の制約を守る限り依存関係は残り得ます

取引資産にはキャリー、配当、資金調達効果があるため、価格測度でも割引前価格がマルチンゲールとは限りません

総収益価値をマネーマーケット口座などのニュメレールで割ります。適切な無裁定仮定の下で割引過程がマルチンゲールになります

ニュメレールを変えると対応する測度と、どの相対価格がマルチンゲールかも変わります。価値単位も命題の一部です

時点 T の複製可能な支払い H は、今日の割引価値が価格測度の下で割引支払いの条件付き期待値に等しくなります

歴史頻度による平均ではありません。割引後の取引価格を無裁定と整合させるために選んだ測度です

この式は動的複製を圧縮した表現であり、取引、状態、配当、資金調達の仮定を消しません

割引後の原資産の次期期待値が現在の割引値に等しくなるよう、上昇と下落の価格ウェイトを選びます

同じウェイトをオプションの次ノード価値へ適用し、割り引いて一段戻ります。反復するとルート価格になります

ツリーのリスク中立確率はマルチンゲール用のウェイトであり、現実の期待超過収益がゼロという意味ではありません

サブマルチンゲールは将来値の条件付き期待値が現在値以上、スーパーマルチンゲールは現在値以下です

制約、消費、アメリカン行使、スーパーヘッジでは、等式の代わりに片側境界が必要な場面で現れます

接頭辞だけで取引利益を予測できません。測度、割引、許容可能性、可積分性を併せて解釈します

公正なゲームをどんな規則で止めても期待値が同じと思いがちですが、任意停止定理には有界性や可積分性などの条件があります

賭け金を倍増する戦略は許容条件を破ったり無限資本を必要としたりするため、実用的な裁定を作りません

アメリカンオプションの停止問題は厳密な行使時刻と価値過程を使い、タイミングが無意味だとは主張しません

観測価格にはスプレッド、古い気配、制約、離散取引が含まれます。モデルのマルチンゲールは明示した理想化の中の命題です

厳密局所マルチンゲール、バブル、非有界請求権、測度存在問題は技術条件を省略できない理由を示します

適用前に過程、測度、ニュメレール、情報、支払いの可積分性、利用可能な取引戦略を指定します