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シミュレーション間の連続バリア12分で読めます
バリアオプション価格におけるブラウンブリッジ
ブラウンブリッジがモンテカルロの日付間で見落とすバリア到達を推定する方法と、終点だけで評価する際の偏りを解説します
要点
ブラウンブリッジは、シミュレーションした二つの終点を条件として、その間の連続拡散経路を扱います。バリアオプションのモンテカルロでは、日付間でバリアを越えた確率を推定し、離散終点を連続観測として扱う偏りを減らします。契約の観測規則は別に確認します
終点だけでは到達を見抜けません
ある模擬価格が短い区間の始点と終点で上側バリアの下にあっても、連続経路は途中で越えて戻ることがあります
日次や時間ごとの終点だけを確認すると、連続観測のノックインやノックアウト事象を見落としやすくなります
時間刻みを細かくすれば誤差は減りますが、計算コストが増え、観測バイアスが完全に消えるわけではありません
ブリッジは条件付きの揺れを補います
ブラウン運動では二つの終点を条件にした中間時点の平均は、二つを結ぶ直線に従います
分散は終点で0となり、区間内部で最大になります。この条件付きの揺れがブラウンブリッジです
拡散を適切な対数価格の形へ変換すれば、同じ考えで区間ごとのバリア到達確率を得られます
バリア近くでは一つの価格だけでは足りません
上側バリアを110、短い区間の模擬終点価格を104と106とします
両方の終点はバリアを触れていませんが、ブリッジ補正は観測されない経路が110を越えて戻る正の確率を与えます
その確率はバリアまでの距離、区間長、モデル分散に依存します。固定比率で置き換えるべきではありません
重み付けと条件付き抽出を使えます
一つの方法は各経路の支払額へ区間ごとの生存確率を掛けます。別の方法はブリッジ確率で到達の有無を抽出します
重み付けは追加の二値抽出を避けるため分散を下げることがあり、条件付き抽出は到達時刻がキャッシュフローへ影響するときに有用です
どちらも実際の契約の観測規則に合わせなければなりません。上場商品には指定時点だけを観測するものもあります
ブリッジは市場の確実性ではありません
標準的な補正は選んだボラティリティ、金利、配当入力の下で連続拡散を仮定します
ジャンプは連続ブリッジが過小評価する形でバリアを越え得ます。確率ボラティリティ、離散配当、値幅制限もモデルを変えます
より細かい格子と比較し、バリア距離とボラティリティをストレスし、契約条件と便利なシミュレーション近似を分けてください
よくある質問
ブラウンブリッジはなぜバリアオプションで有用ですか？
シミュレーション日間に連続観測バリアを越えたかを推定し、終点だけを見る方法の見落としを減らせるためです
ブラウンブリッジを使えば正確な価格になりますか？
指定した連続拡散と観測規則では正確ですが、ジャンプ、変動するボラティリティ、実際の契約条件には別のモデルが必要な場合があります
モンテカルロの時間刻みを増やすだけではだめですか？
細かい刻みも役立ちますが、ブリッジは日付間の偏りの多くをより効率よく減らせます