Feynman–Kac公式とオプション評価

dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_sとし、Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φと定めます

生成作用素は状態の滑らかな関数が示す瞬間的な条件付き変化を要約します

経路モデルと微分方程式を結びますが、微分不能な確率経路自体に通常の導関数があるとは主張しません

∂_t u + Lu - r u + f = 0と終端条件u(T,x) = g(x)を考えます

gは終端ペイオフ、rは消滅率または割引率、fは継続的なソース項で、符号は明示したPDE規約に従います

状態拡散は前向きに進みますが、Tの値が既知なので評価は時間を後ろ向きに解きます

正則性と可積分性の条件下で、u(t,x)は割引g(X_T)と累積fの条件付き期待値です

D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv)なら、E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]です

D_{t,s}u(s,X_s)へItô公式を適用するとドリフトがソース項の負になり、期待値から等式を得ます

一定短期金利ならe^{-r(T-t)}ですが、状態依存金利では経路ごとの積分が必要です

期間中の配当、クーポン、費用やソース項は終端ペイオフに隠さず時間積分へ入れます

PDEの符号を変えれば表現も変わるため、作用素、終端条件、時間方向を一組として扱います

有効な価格測度の下で割引取引資産の動学がLを決め、デリバティブ価値は対応する価格PDEを満たします

期間中支払いのない欧州型請求権は、終端ペイオフを割り引いた条件付き期待値で評価されます

Black–Scholesはこの橋の一例で、Feynman–Kacの定義でも全市場が完備という証拠でもありません

有限差分は格子上で後退方程式を解き、Monte Carloは前向き経路の期待値を推定します

独立した実装の一致は符号、割引、境界条件、標本誤差の強力な検査になります

低次元の曲面や境界にはPDE、状態数や経路関数で格子が高価になる場合はシミュレーションが適します

古典形には係数、成長、正則性、可積分性、一意性の条件が要り、粘性解などの弱い理論が範囲を広げます

アメリカン行使は障害問題や変分不等式を作り、非線形な資金調達や制御は単純な線形公式に入りません

ジャンプはPDEを積分微分方程式に変え、経路依存性は状態拡張などを必要とします