所有期權指南
隨機積分的方差閱讀約11分鐘
理解隨機積分的Itô等距
了解Itô等距如何把布朗運動隨機積分的方差化為時間積分，以及它對對沖誤差和模擬的意義
直接解答
Itô等距指出，平方可積布朗運動隨機積分的平方期望，等於被積過程平方的時間積分期望。它把隨機路徑風險化為一般方差計算，但必須先滿足可預測性和可積性條件，並非收益保證
等距量度平方不確定性
對可預測過程H，核心關係是E[(∫₀ᵀ H_t dW_t)²] = E[∫₀ᵀ H_t² dt]
條件成立時，隨機積分的條件平均為零，因此兩邊也刻畫同一個方差
這不是微分符號相乘的規則，而是由簡單過程極限定義的L²恆等式
階梯式暴露提供直觀計算
若H由時點0至0.25取2，其後取0，積分便是2(W_0.25 - W_0)
其方差為4 × 0.25 = 1，恰好等於H²的時間積分
在不重疊區間，獨立布朗增量的交叉項在期望下消失。對允許的H，這個計算保留至極限
對沖誤差要看整段暴露路徑
模擬沿用相同方差預算
蒙地卡羅增量通常寫成H_t√Δt Z，其中Z平均為0、方差為1
其條件方差為H_t²Δt，這些項的和就是等距的離散對應物
改變時間網格時，應比較H²的積分預算與抽樣誤差，而不是只以更多路徑驗證結果
跳躍與交易摩擦仍要分開
常見問題
如何簡單理解Itô等距？
它讓許多微小布朗衝擊造成的方差，可以透過各時點暴露大小平方後求和來計算
Itô等距會消除對沖風險嗎？
不會。它只描述已聲明模型的布朗部分。跳躍、離散對沖、成本和錯誤輸入仍可造成虧損
為何要求可預測性？
被積過程必須由下一次布朗衝擊前可取得的資料決定。使用未來雜訊便不再代表可接受的風險暴露