期權定價中的Itô引理詳解

對於平滑的確定路徑 x(t)，f(t, x) 的局部變化可用時間導數和關於 x 的一階導數描述

擴散路徑雖然連續，卻不能以普通方式平滑求導。它在短時間內的隨機增量與時間平方根同階

所以Taylor展開的二階項與時間項一樣大。刪去這一項，也會刪去期權定價中後來表現為Gamma的效應

以 dW 表示布朗增量。在Itô計算中，dW² 對 dt 有貢獻，而 dt² 和 dt·dW 在相關階數上消失

這是一個極限結果的簡寫：當分割愈來愈細，布朗增量平方之和收斂至經過的時間

它並非表示每個隨機衝擊的平方在普通代數中都等於時間，而是隨機積分所採用的極限規則

設 dS = μSdt + σSdW，期權價值為 V(t, S)。Itô引理給出其局部隨機變化

漂移項是 Vₜ + μS Vₛ + 1/2 σ²S²Vₛₛ，隨機項是 σS VₛdW，下標代表偏導數

Delta Vₛ 乘在一階衝擊上，Gamma Vₛₛ 則透過二次變差進入與時間同階的漂移

即使價格衝擊的條件平均值是零，凸性也會令上升和下跌對期權價值產生不對稱影響

1/2 σ²S²Gamma 衡量這種局部曲率貢獻。波幅愈高，彎曲的價值函數累積模型價值的速度愈快

這不代表持有長Gamma必然獲利。Theta、期權金、實際路徑、跳躍、偏斜變化和交易成本共同決定盈虧

持有一份期權並沽出相應Delta數量的相關資產，在擴散假設下可即時抵銷 dW 項

餘下的局部組合被視為無風險，因此一致處理股息和持有成本後，無套戥要求它賺取無風險利率

代入這項條件後 μ 消失，並得出Black–Scholes偏微分方程。定價關係源於複製，而非回報預測

多個相關擴散過程會產生由協方差加權的交叉二階導數項，把相關性與聯合曲率連結起來

改變狀態過程便會改變生成元和定價方程。局部波幅、隨機波幅和利率模型都採用相關的Itô展開

函數不夠平滑時，邊界和折點要用弱解、廣義公式或數值方法處理，不能隨意求導

含跳躍的過程不能單靠連續布朗公式描述。其變化公式要加入不連續跳躍項，並可能產生積分微分方程

真實對沖是離散而且有成本的。抵銷無窮小 dW 項並不能消除裂口、流動性、參數和執行風險

Itô引理用於理解模型機制。解讀價格或希臘值前，應先說明過程、平滑性、測度和交易假設