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數值偏微分方程約12分鐘
期權定價中的有限差分法詳解
理解有限差分法如何在網格上求解期權定價方程，以及顯式、隱式、Crank–Nicolson格式和數值誤差的分別
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
有限差分期權定價把連續定價方程換成價格與時間網格上的數值，以相鄰節點近似導數，再由到期收益逐步回推至今天。數值格式的穩定性、邊界條件、網格誤差和插值方法都是計算價格的一部分
定價方程轉化為網格問題
擴散模型與無套戥推導會產生一條描述期權價值隨相關資產價格和時間變化的偏微分方程
終端條件是合約到期收益，邊界條件則描述網格所含最低和最高資產價格附近的價值表現
沒有實用閉式解，或行使與收益結構較複雜時，有限差分法可對方程進行數值求解
導數變成節點之間的差
選擇從 S₀ 至 S_M 的價格節點，以及由今天至到期的時間層。有限網格截斷並離散化連續區域
價格的一階和二階導數由相鄰期權價值近似，時間導數則由相鄰時間層近似
代入後，偏微分方程變成相互連結的代數方程。逐層向後求解，最終得到今天現貨價附近的價值
顯式與隱式格式權衡簡潔和穩定
顯式格式直接用較後時間層的相鄰節點計算較前價值，單步透明而且計算快速
它的時間步長要符合由價格間距和系數決定的穩定條件，過粗的網格可能產生震盪甚至發散
隱式格式每一步都要解線性方程組，單步成本較高，但在較大時間間隔下一般較穩定
Crank–Nicolson平均兩種時間處理
Crank–Nicolson格式平均顯式和隱式算子，在標準條件和光滑解下具有二階時間精度
期權到期收益含有折點，離散事件亦會產生新的非光滑位置，即使形式上穩定仍可能出現早期震盪
Rannacher起步、阻尼、擬合網格或更短間隔可控制假象，但選用的方法必須以測試驗證
邊界和事件可能主導誤差
雖然模型中的相關資產價格沒有上限，價格網格的上邊界卻有限。認購和認沽的漸近性質可指引邊界賦值
邊界太近時，人為條件會污染內部。擴大計算區域後，價格和希臘值應該幾乎不變
現金股息、界內界外水平、回贈和觀察日要在準確事件時點施加跳躍或連接條件，時點錯位會造成偏差
美式行使是自由邊界問題
在每個可行使點，美式期權價值不得低於即時行使價值，亦要在繼續持有區域符合定價方程
這形成互補條件，可用投影求解器、懲罰方法或直接行使比較來執行約束
估計行使邊界取決於網格解像度和合約輸入。輸出平滑並不能證明停止策略準確
收斂測試需要多個細化網格
分別細化時間和價格間距、移動外側邊界，並比較顯式、隱式或其他獨立數值方法
不只追蹤價格，也要追蹤希臘值，因為求導會放大網格雜訊。可在現貨、行使價、界限或行使邊界附近集中節點
網格足夠細並對齊前，理論收斂階可能不會出現。應報告實際觀察的收斂，而非只引用理論速度
驗證區分數值誤差與模型誤差
以Black–Scholes校驗簡單歐式期權，再用二項樹或獨立求解器比較美式合約
測試收益極限、平價、單調性、凸性、提早行使邊界，以及對邊界位置和事件時間的敏感度
記錄格式、網格、區域、求解容差、阻尼和插值。數值設定也是估值假設，並非隱藏的實作細節
常見問題
期權定價中的有限差分法是甚麼？
它以網格節點之間的差取代定價方程中的導數，再從到期開始向後計算期權價值
顯式與隱式格式有何分別？
顯式更新直接但有條件穩定；隱式更新要解線性方程組，一般較為穩定
為何使用Crank–Nicolson格式？
它平均兩種時間處理以提高時間精度，但到期收益折點或需要阻尼或較短的起步步長
有限差分法能為美式期權定價嗎？
可以。求解器在計算繼續持有方程時，必須確保價值不低於即時行使價值
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
分析我的期權