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随机积分的方差阅读约11分钟
理解随机积分中的Itô等距
了解Itô等距如何把布朗运动随机积分的方差化为时间积分，以及它对对冲误差和模拟的含义
直接答案
Itô等距说明，平方可积的布朗运动随机积分的平方期望，等于被积过程平方的时间积分期望。它把随机路径风险化为普通方差计算，但必须先满足可预测性和可积性条件，不能把它当作收益保证
等距衡量累积的平方不确定性
对可预测过程H，核心关系是E[(∫₀ᵀ H_t dW_t)²] = E[∫₀ᵀ H_t² dt]
条件成立时，随机积分的条件均值为零，因此两边也刻画同一个方差
这不是微分符号相乘的规则，而是由简单过程极限定义的L²恒等式
阶梯过程给出直观计算
若H从0到0.25取2，之后取0，则积分为2(W_0.25 - W_0)
其方差是4 × 0.25 = 1，恰好等于H²的时间积分
不重叠区间中，独立布朗增量的交叉项在期望下消失。对允许的H，这个计算会保留到极限
对冲误差取决于整个暴露路径
模拟使用相同的方差预算
蒙特卡洛增量通常写作H_t√Δt Z，其中Z均值为0、方差为1
其条件方差为H_t²Δt，这些项的和就是等距的离散对应物
改变时间网格时，应比较H²的积分预算与抽样误差，而不应只用更多路径来证明对冲结果可靠
跳跃与摩擦仍需单独建模
常见问题
如何简单理解Itô等距？
它让许多微小布朗冲击造成的方差，可以通过对每个时点的暴露大小平方后求和来计算
Itô等距会消除对冲风险吗？
不会。它只描述已声明模型中的布朗部分。跳跃、离散对冲、成本和错误输入仍可能造成亏损
为什么要求可预测性？
被积过程必须由下一次布朗冲击之前可获得的信息决定。使用未来噪声就不再代表可接受的风险暴露