特征值、特征向量与金融风险因子

矩阵通常改变长度与方向，特征向量变换后仍在同一直线上。

特征值说明伸缩倍数；负值还会反向，但协方差特征值不会为负。

向量长度任意，通常归一化为一；向量与负向量代表同一轴。

对角元素是各资产方差，非对角元素是两两协方差。

矩阵对称且半正定，因此可有实特征值与正交特征向量。

样本协方差由观测估计，其特征值与向量也带抽样误差。

收益投影到单位特征向量后，投影收益方差等于对应特征值。

全部特征值之和等于矩阵迹，也就是各变量方差之和。

单个值除以总和得到解释方差比例，可据此排序拟合风险方向。

谱分解把协方差写成由特征值加权的特征向量方向之和。

轴之间不相关，组合方差可分成轴暴露平方乘对应特征值。

这只是坐标变换，不相关轴不能证明经济冲击独立。

特征值接近时，数据微小变化也会让对应向量大幅旋转。

数值相同时，共享子空间内任何正交基都产生同一协方差。

符号对齐、夹角、子空间距离与bootstrap可评估稳定性。

第一值占比大说明许多资产共享方向，有效分散低于名义持仓数。

有效维度概括方差是否均匀分布，同样资产数也可有不同维度。

压力期相关与第一轴占比可能上升，平静期估计会夸大危机分散。

PCA载荷是协方差或相关矩阵的特征向量，解释方差来自特征值。

少数大值支持近似因子结构，却不能单独确定经济来源。

因子模型明确共同结构与残差，特征分解描述几何，假设并不相同。

报告收益定义、频率、窗口、缺失、异常、标准化与协方差估计法。

展示完整特征值谱、累计比例、主要向量与符号规则。

比较滚动窗口、收缩协方差与样本外风险预测，图表不能消除误差。