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风险表示12分钟
鞅表示定理：随机积分为什么能成为动态对冲
解释鞅如何写成随机积分、积分项怎样变成对冲头寸，以及表示能力如何决定市场完备性
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
鞅表示定理指出，在由布朗运动等指定风险驱动因素生成的信息流中，每个适当鞅都能写成初值加上相对这些因素的随机积分。在金融中，若可交易资产覆盖相同驱动因素，积分中的风险敞口就能转换为动态对冲
必须先指定信息来源
鞅相对于信息流F_t定义，F_t表示随时间可获得的信息
标准布朗定理中，F_t由布朗运动生成，并补充通常的零测集
扩大信息流可能加入原驱动因素无法表示的风险，从而改变定理的应用结果
定理把鞅变成积分
对平方可积布朗鞅M，存在可预测过程φ，使M_t = M_0 + ∫_0^t φ_u dW_u
等价地，适当终值变量H满足H = E[H] + ∫_0^T φ_u dW_u
在相关可积约定下φ唯一，其维数取决于驱动信息的布朗风险数目
积分项变成对冲比例
在定价测度下，通常条件成立时，索取权的贴现价值过程是鞅
用与可交易资产相同的噪声表示该价值，可揭示每时点必须匹配的风险敞口
把鞅积分项映射到资产波动率载荷方程，便得到股票或其他风险证券的持仓
表示能力连接市场完备性
若可交易资产收益覆盖驱动鞅风险的每个分量，适当的或有索取权就能复制
布朗扩散模型中，关键是波动率载荷矩阵的秩，而不只是资产名称的数量
完整表示结合标准无套利条件，支持唯一的等价定价测度
额外风险会破坏可交易表示
未交易布朗因子、跳跃、违约时点或扩大的信息可能加入资产无法覆盖的鞅分量
索取权鞅于是含有可用自融资策略无法消除的正交残差
数学上可在更大的驱动集合中表示，但若驱动因素不能交易，金融市场仍不完备
不完备性改变价格与对冲选择
没有精确复制时，无套利可能允许多个鞅测度和一个索取权价格区间
最小方差、效用、无差异定价或超对冲标准，会以不同方式处理未覆盖分量
选择哪项标准属于经济输入，并非仅由表示定理决定
验证必须逐项匹配假设
应明确显示信息流、概率测度、驱动集合、可积类别、可接受策略与资产波动率矩阵
检查积分项的可预测性和平方可积性，以及转换成仓位时矩阵的秩和数值稳定性
把残差收益与交易成本、离散误差分开检验；样本残差小不能证明理论完备
常见问题
如何简单理解鞅表示定理？
它表示适当鞅的所有新变化，都可由对指定随机驱动因素的可预测敞口累积而成
信息流为什么重要？
它定义存在哪些信息与意外；扩大信息流可能加入原驱动因素无法表示的风险
数学表示一定保证可交易对冲吗？
不保证；数学驱动因素还必须由实际可交易证券的收益覆盖，并符合可接受策略
它与市场完备性有何关系？
若可交易收益能表示并复制所选信息结构中的每个相关索取权鞅，市场就是完备的
资料来源与延伸阅读
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