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随机指数何时定义测度阅读约15分钟
Novikov条件与Kazamaki条件详解
理解Novikov与Kazamaki判据如何把局部鞅随机指数变成可用于测度变换的有效密度
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Novikov与Kazamaki是充分判据，可保证连续局部鞅的随机指数在指定期限成为真鞅，通常还是一致可积鞅。只有期望保持为1，该随机指数才能作为新概率测度的密度
正局部鞅也可能损失质量
对连续局部鞅M，其随机指数为Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)
Z是正局部鞅，因此也是上鞅，E[Z_t]可能降到初始值1以下
一旦损失质量，Z_T便不能按原构造充当概率密度
测度变换需要真鞅
有限期限密度要求Z_T ≥ 0且E[Z_T] = 1，密度过程由条件期望保持一致
一致可积性控制整个期限的变量族，并支持停时上的一致测度变换
写出一个指数表达式并不能证明它归一化为1或定义等价测度
Novikov控制指数二次变差
固定有限期限T上的常见条件是E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞
若M = ∫θ_s dW_s，括号过程为∫₀ᵀθ_s²ds，因此检验累计漂移平移平方的指数可积性
它只用二次变差，便于检查，但可能比实际所需条件更强
Kazamaki考察鞅本身
Kazamaki型判据控制exp(M/2)，通常以停时族上的次鞅或一致可积条件表述
即使Novikov的指数括号矩无限，它也可能证明随机指数是真鞅
准确表述随期限和定理版本而变，因此应明确使用的判据与符号约定
判据失败不等于密度失败
两项条件都是充分检验，不是定义，也通常不是必要条件
Novikov失败时，Kazamaki、BMO、直接期望计算或模型专用论证仍可能成功
若所有方便检验都失败，不能直接假定真鞅性，严格局部鞅仍有可能出现
金融依赖期望等于1这一步
Girsanov漂移变换与风险中性密度常使用由市场风险价格构造的随机指数
若密度是严格局部鞅而非真鞅，拟定价格测度可能有缺陷或在期限间不一致
同一问题还会出现在似然比估计、滤波、效用对偶与类似泡沫的模型中
期限、跳跃与局部化改变判据
对每个有限T成立的条件，不一定给出无限期限的一致可积性
局部化证明局部恒等式，却不会在取极限时自动恢复损失的期望质量
跳跃指数需要专门的正性与可积性条件，不能照搬连续型Novikov公式
常见问题
什么是Novikov条件？
对[0,T]上的连续局部鞅M，常见形式要求E[exp(½⟨M⟩_T)]有限
Novikov条件是必要条件吗？
不是，它是充分条件，相关矩发散时随机指数仍可能是真鞅
Kazamaki比Novikov更弱吗？
它能检验Novikov遗漏的情况，但准确比较取决于所用定理版本与假设
这些条件为何影响期权定价？
它们帮助证明Girsanov指数期望为1，并能定义预期的定价测度
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权