期权定价中的伊藤引理详解

对于光滑的确定性路径 x(t)，f(t, x) 的局部变化可由时间导数和关于 x 的一阶导数描述

扩散路径虽然连续，却无法按普通方式光滑求导。它在短时间内的随机增量与时间平方根同阶

因此泰勒展开的二阶项与普通时间项一样大。删去它，也就删去了期权定价中后来表现为Gamma的效应

用 dW 表示布朗增量。在伊藤计算中，dW² 对 dt 有贡献，而 dt² 和 dt·dW 在相关阶数上消失

这是一个极限结论的简写：随着分割越来越细，布朗增量平方之和收敛到经过的时间

它并不是说每个随机冲击的平方在普通代数中都等于时间，而是随机积分采用的极限规则

设 dS = μSdt + σSdW，期权价值为 V(t, S)。伊藤引理给出其局部随机变化

漂移项为 Vₜ + μS Vₛ + 1/2 σ²S²Vₛₛ，随机项为 σS VₛdW，下标表示偏导数

Delta Vₛ 乘在一阶冲击上，Gamma Vₛₛ 则通过二次变差进入与时间同阶的漂移

即使价格冲击的条件均值为零，凸性也会让上涨和下跌对期权价值产生不对称影响

1/2 σ²S²Gamma 衡量这种局部曲率贡献。波动率越高，弯曲的价值函数积累模型价值的速度越快

这不代表做多Gamma必然盈利。Theta、权利金、实际路径、跳跃、偏斜变化和交易成本共同决定盈亏

持有一份期权并卖出对应Delta数量的标的，在扩散假设下可瞬时抵消 dW 项

剩余的局部组合被视为无风险，因此在一致处理股息和持有成本后，无套利要求其赚取无风险利率

代入该条件后 μ 消失，并得到Black–Scholes偏微分方程。定价关系来自复制，而不是收益预测

多个相关扩散过程会产生由协方差加权的交叉二阶导数项，把相关性与联合曲率连接起来

改变状态过程会改变生成元和定价方程。局部波动率、随机波动率和利率模型都使用相关的伊藤展开

函数不够光滑时，边界和折点需要用弱解、广义公式或数值方法处理，不能随意求导

含跳跃的过程不能只用连续布朗公式描述。其变化公式需加入不连续跳跃项，并可能产生积分微分方程

真实对冲是离散且有成本的。抵消无穷小 dW 项并不能消除跳空、流动性、参数和执行风险

伊藤引理用于理解模型机制。解读价格或希腊字母前，应先说明过程、光滑性、测度和交易假设