VaRとExpected Shortfallの違い

損失LのCDFをF_LとするとVaR_α(L)=inf{l:F_L(l)≥α}です

1日99%VaRが10なら、その規約のモデルで1日損失が10を超える確率を約1%と置きます

最大損失が10、連続100日の正確に99日が10以下、または超過損失が小さいという意味ではありません

可積分損失の頑健な定義はES_α(L)=(1−α)^{-1}∫_α^1 VaR_u(L)duです

連続分布では選んだテール規約の下でE[L|L≥VaR_α]と一致することが多くあります

分位点に原子があると単純条件付き平均は質量を選び過ぎるため、積分定義が部分質量を正しく扱います

VaRが同じポートフォリオでも片方が閾値の先に大きな損失を置くことがあります

VaRは全分布で劣加法的ではなく、分散を罰したり集中した閾値効果を有利に見たりし得ます

ESは標準定義と可積分性でコヒーレントですが、誤ったモデルや古いデータを信頼可能にはしません

ヒストリカルVaRは順序統計量で、ESは選んだ順位より先の観測だけを平均します

高信頼水準のESは有効観測数が非常に少なく、標本不確実性が大きくなり得ます

パラメトリック、フィルター、極値、Monte Carlo推定には期間、依存、流動性、局面に合う仮定が必要です

VaR検査は超過回数を数え、その時点がモデル許容以上に集中するかを評価できます

ESは超過頻度だけでは評価できず、適切なスコアやテール損失診断でVaRと共同評価できます

合格は過去誤差がその窓と検査に合ったという意味で、次の局面や未収載ポジションを保証しません

Rockafellar–Uryasevのmin_t{t+(1−α)^{-1}E[(L−t)_+]}の最小値は規約に沿うESです

標準条件で最適tはVaR分位点となり、多くのシナリオES問題を凸最適化へ変えます

結果はシナリオ品質、非線形ポジション、取引制約、損失写像の凸性に依存します

損失符号、期間、信頼水準、評価時点、窓、重み、通貨、欠損・古い価格の扱いを明示します

不確実性区間、超過履歴、テール寄与、ストレス、統計モデル外の限度とともに報告します

別の窓と依存仮定で再計算し、一つの数字をリスク証明書にせず変化原因を調べます