極値理論とTail Index

中心極限定理は正規化した和を扱いますが、EVTは最大値、最小値、高い閾値を超えた観測を扱います

通常のリターンをよく説明するモデルでも、中心部には遠い裾の情報が少ないため暴落確率を大きく誤ることがあります

EVTは可能な極限裾形状を絞りますが、有限標本を十分に極端にしたり市場の非定常性を消したりはしません

古典的な最大値吸引領域の条件では、ブロック最大値M_nの非退化な正規化極限は一般化極値分布族に属します

括弧内が正ならG(z)=exp{−[1+ξ(z−μ)/σ]^(−1/ξ)}と書け、ξ=0では連続なGumbel極限を取ります

位置μは水準、尺度σは広がり、形状ξは極限裾の種類を決めます

ξ>0は重いべき裾のFréchet型、ξ=0はGumbel型、ξ<0は有限上端点を持つWeibull型です

重い裾の文献ではべき指数α=1/ξもTail Indexと呼ばれ、分野によりξまたはαを意味します

ξが大きいほど裾は重く、αが大きいほどべき裾は軽いため、使う慣例を必ず明記します

Hill、Pickands、確率加重モーメント、尤度推定量は最大観測の異なる部分や要約を使います

極値を少なすぎる数だけ使うと分散が高く、多すぎると中心部が混ざって裾近似に偏りが生じます

選んだ順序統計量、閾値規則、不確実性区間、安定性経路を伴わないTail Index推定は不完全です

金融リターンは独立同分布ではなく、ボラティリティ局面は複数の大損失を近い時点に集めます

適切な定常依存の下で極値指数はクラスターを要約し、一未満なら実質的に独立な極値が少ないことを示します

ボラティリティのフィルタリングや非クラスター化は有用でも、仮定を増やし危機の持続性を消す恐れがあります

裾モデルと超過率を推定すると、高分位VaRを日常的に観測した最大損失より先へ延ばせます

Expected Shortfallには有限な裾平均が必要で、一般化Pareto重尾ではξ<1、高次モーメントにはさらに強い条件が必要です

閾値から離れるほど外挿不確実性は急増するため、小数点以下の桁を増やしても情報は増えません

妥当な複数の閾値やブロック長で平均超過、パラメータ安定性、分位点、確率、再現水準の図を確認します

窓、フィルター、非クラスター化規則、推定量、危機期間の扱いを変えて再推定し、選択の監査記録を残します

前例のない仕組みは過去の極値の拡大版とは限らないため、EVTをシナリオ分析と構造的ストレステストに併用します