Hestonモデルと確率的ボラティリティ

Black-Scholesは契約期間に一つの固定ボラティリティを使います。市場価格は行使価格、満期、時点ごとに異なるIVを示します

確率的ボラティリティ・モデルは分散を別のランダム状態変数にします。明日の不確実性は資産価格と経路上の分散に依存します

現実的な動学を加える一方、取引できないリスク源も生まれます。価格には分散リスクの対価に関する仮定が必要です

資産拡散項は√vₜを瞬間ボラティリティに使います。選んだ価格測度で分散は dvₜ = κ(θ − vₜ)dt + ξ√vₜdWᵛₜ に従います

現在分散v₀が出発点です。シータは長期分散、カッパは平均回帰速度、クシーは分散のボラティリティです

平方根項は現在状態で分散ショックを調整します。パラメータは分散単位なので、シータを直接ボラ率として読めません

分散がシータより高ければドリフトは下へ、低ければ上へ引きます。カッパがその速さを決めます

速い平均回帰は現在ショックを短期満期へ強く反映します。遅い回帰は影響を長期へ配分します

較正ではカッパとシータが相殺し得ます。曲面への適合が良くても各パラメータが精密に識別されたとは限りません

現物と分散のブラウン運動ショックはローで相関します。負のローでは価格の負ショックと分散の正ショックが重なりやすくなります

このレバレッジ型経路が株式の下方スキューを作ります。現物下落と分散上昇が下方オプション価値を同時に押し上げます

ローはリターンと表示IV系列の過去相関ではありません。選択した測度と較正に属する瞬間モデル値です

クシーは分散のランダム性を調整します。高い値は将来分散の分布を広げ、行使価格と満期にわたる曲率を強め得ます

効果はロー、カッパ、シータ、現在分散と相互作用します。一つの値を曲面の一特徴へ直接対応させられません

Feller条件 2κθ ≥ ξ² は理想過程で厳密な正分散を支える十分条件ですが、実装と離散化も重要です

較正は選んだオプション格子でモデルと市場の価格またはIV誤差を小さくするパラメータを探します

目的関数の重み、気配、満期、行使価格、制約、最適化、金利、配当、数値積分によって結果は変わります

複数の組合せが同程度に適合できます。価格誤差と安定性を報告し、適合に使わない契約でも検証します

基本Hestonは連続経路、一つの分散因子、固定パラメータです。市場にはジャンプ、レジーム、イベント、異なるスキュー動学があります

深いウィングと超短期では欠けたジャンプが見えます。長期では不安定な平均回帰や複数因子の必要性が表れます

真の過程の証明ではなく整合的なシナリオ装置として使います。適合外のジャンプ、曲面、流動性、ヘッジ誤差もストレスします