Heston 모형과 확률적 변동성 이해하기

Black-Scholes는 계약 기간에 하나의 고정 변동성을 사용합니다. 실제 옵션 가격은 행사가, 만기와 시간에 따라 서로 다른 변동성을 내포합니다

확률적 변동성 모형은 분산을 별도의 무작위 상태변수로 둡니다. 내일의 불확실성은 자산 가격과 경로상 도달한 분산에 함께 좌우됩니다

현실적인 동학을 더하지만 거래되지 않는 위험 원천도 생깁니다. 가격을 정하려면 분산 위험이 어떻게 보상되는지 가정해야 합니다

자산 확산항은 √vₜ를 순간변동성으로 사용합니다. 선택한 가격측도에서 분산은 dvₜ = κ(θ − vₜ)dt + ξ√vₜdWᵛₜ를 따릅니다

현재분산 v₀는 출발점입니다. 세타는 장기분산, 카파는 평균회귀 속도, 크시는 분산의 변동성을 나타냅니다

제곱근 항은 현재 상태에 따라 분산 충격 크기를 바꿉니다. 계수는 분산 단위이므로 세타를 변동성 퍼센트로 바로 읽으면 안 됩니다

분산이 세타보다 높으면 표류항이 아래로, 낮으면 위로 당깁니다. 카파는 이 힘이 작동하는 속도를 정합니다

평균회귀가 빠르면 현재 충격은 단기 만기에 더 크게 반영됩니다. 느리면 영향이 먼 만기까지 퍼집니다

보정 과정에서 카파와 세타는 서로 상쇄될 수 있습니다. 곡면 적합이 좋아도 각 계수가 정밀하게 식별됐다는 뜻은 아닙니다

현물과 분산의 브라운 충격은 로 상관계수로 연결됩니다. 로가 음수면 가격의 음의 충격과 분산의 양의 충격이 함께 나타나는 경향이 있습니다

이 레버리지형 통로는 주식 하락 스큐를 설명합니다. 현물 하락과 분산 상승이 하락 옵션 가치를 함께 밀어 올립니다

로는 수익률과 호가 IV 시계열의 역사적 상관이 아닙니다. 선택한 측도와 보정에 속한 순간 모형 계수입니다

크시는 분산의 무작위성을 조절합니다. 값이 높으면 미래분산 분포가 넓어지고 행사가와 만기에 걸친 곡률이 커질 수 있습니다

효과는 로, 카파, 세타와 현재분산에 함께 의존합니다. 하나의 계수를 곡면의 한 특징과 일대일로 연결할 수 없습니다

Feller 조건 2κθ ≥ ξ²은 이상적 과정에서 분산이 엄격히 양수일 충분조건이지만, 구현과 이산화 방식도 여전히 중요합니다

보정은 선택한 옵션 격자에서 모형과 시장 가격 또는 IV 오차가 작아지는 계수 조합을 찾습니다

목적함수 가중치, 호가 처리, 만기, 행사가, 제약, 최적화기, 금리, 배당과 수치 적분 방식에 따라 결과가 달라집니다

여러 계수 조합이 비슷하게 적합될 수 있습니다. 가격 오차와 계수 안정성을 함께 보고 적합에 쓰지 않은 계약에서도 시험해야 합니다

기본 Heston은 연속 경로, 하나의 분산 요인과 고정 계수를 사용합니다. 실제 시장은 점프, 국면 변화, 이벤트와 다른 스큐 움직임을 보입니다

깊은 날개와 초단기 만기에서는 빠진 점프가 드러날 수 있습니다. 장기 만기에서는 평균회귀 불안정이나 다중 요인이 필요할 수 있습니다

진짜 과정을 증명하는 대신 일관된 시나리오 엔진으로 사용해야 합니다. 적합 범위 밖 점프, 계수, 곡면, 유동성과 헤지 오차를 스트레스해야 합니다