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最优控制的两种视角阅读约15分钟
Pontryagin最大值原理与HJB对比
比较确定性与随机金融控制中的协态、Hamiltonian优化、价值函数和动态规划
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Pontryagin最大值原理借助Hamiltonian与后向协态，给出最优状态和控制路径应满足的必要条件。HJB通过动态规划刻画所有状态上的价值；当价值函数足够光滑时，两种视角可以相互连接
控制问题先于两种方法
状态X受控制u驱动，目标结合持续收益、终端价值以及可能的风险或约束
可行控制必须明确可用信息、可积性、状态限制，以及决策是反馈式还是开环式
改变目标或可行集合，会同时改变最大值原理条件与HJB方程
Hamiltonian衡量局部选择后果
控制Hamiltonian把即时目标与协态乘以受控状态漂移的项结合起来
符号约定决定应最大化还是最小化Hamiltonian，因此必须与目标函数一同说明
这里的Hamiltonian是控制理论对象，不是力学能量，也不是市场价格
状态与协态组成前后向系统
状态方程在候选控制下从初始条件向前演化
协态方程从终端条件向后演化，衡量扰动状态对目标的边际影响
候选控制在每个时刻优化与两条路径及活跃约束耦合的Hamiltonian
最大值原理通常是必要检验
在定理假设下，违反最大值条件的路径不可能最优
满足条件并不保证全局最优，非凸目标可能产生局部极值或多个候选
在特定问题中，凹性、凸性、横截条件与约束资格可把候选条件加强为充分条件
随机控制增加随机协态
存在扩散风险时，协态成为后向随机过程，Hamiltonian还包括对随机冲击的暴露
若控制进入非凸扩散系数，一般随机最大值原理可能需要二阶协态项
仅因确定性公式熟悉就省略这些项，可能得到错误的一阶条件
HJB描述所有状态而非单一路径
HJB是由Bellman递归建立的价值函数非线性方程，覆盖时间与整个状态空间
Pontryagin以状态和协态方程跟随候选最优路径，有时把PDE化为边值系统
价值足够光滑时，协态常对应最优路径上的价值梯度，但须核对符号与正则性
金融有条件地采用两种视角
组合选择、最优执行、做市、库存控制与有成本对冲都可用任一路径建模
HJB适合状态反馈策略，最大值原理在高维或带路径约束的问题中可能更方便
必须验证可行性、边界条件、二阶条件以及对模型和目标误设的稳健性
常见问题
Pontryagin最大值原理是充分条件吗？
通常只给必要条件，特定问题还需凹性、凸性与正则性才能成为充分条件
Pontryagin与HJB有何区别？
前者研究候选路径上的状态和协态，后者求解整个状态空间上的最优价值
什么是协态变量？
它是衡量候选最优路径上状态微小变化如何影响目标的伴随变量
最大值原理在金融中用于哪里？
用于组合控制、执行、做市、对冲、消费选择以及带状态或路径约束的问题
资料来源与延伸阅读
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