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把连续决策写成方程阅读约15分钟
金融中的Hamilton–Jacobi–Bellman方程
理解动态规划如何导出HJB方程，并用于随机控制、投资组合选择、验证、约束与数值策略
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
Hamilton–Jacobi–Bellman方程是连续时间控制问题的局部最优条件。现在与未来都采取最优行动所产生的价值，必须满足一个非线性后向方程，在每一时刻优化即时收益与作用于未来价值的受控生成元
价值函数概括控制问题
设状态过程X受控制a影响，a可以是消费、组合权重、库存或执行速度
价值V(t,x)是在时刻t从状态x出发，所有可行策略能够实现的最佳未来期望目标
可行性定义不可缺少，因为杠杆、信息、可积性与市场约束决定哪些控制可供比较
动态规划给出递归结构
Bellman原理认为，最优计划经过第一个短区间后，在当时到达的状态下仍应对余下期限最优
因此当前价值等于即时收益加上短暂一步后最优延续价值的最大值
对这一递归作时间展开并使用受控生成元，就得到连续时间HJB方程
HJB在局部优化行动
有限期限的常见形式是∂_tV + sup_a{r(t,x,a) + L^aV} = 0，并配有终端条件
其中r是持续收益，L^a是局部保持行动a时状态过程的生成元
即使每个固定控制对应的方程都是线性的，取上确界也会使整体方程非线性
投资组合选择是经典案例
在Merton问题中，财富随消费以及风险资产与无风险资产配置而变化
HJB权衡当前消费效用与每项选择对未来财富价值漂移和方差的影响
特殊效用与固定投资机会可能给出闭式解，随机机会或约束通常会增加状态维度
候选解仍需要验证
求解HJB内的一阶条件只能得到候选策略，并不自动成为可行的最优解
验证定理检查正则性、边界和终端条件、可积性，以及候选策略是否真正达到上界
当价值不光滑时，黏性解以广义方式替代经典导数，同时保留动态规划含义
约束同时改变策略与方程
头寸限制、交易成本、无交易区、回撤规则与市场冲击会产生角点解或额外状态变量
脉冲控制可导出拟变分不等式，模型歧义则可能加入对不利动态的第二层优化
不应机械截断无约束一阶解，而应重新检查受约束控制问题本身
数值解需要策略诊断
有限差分、策略迭代、半拉格朗日方法与近似动态规划适合不同的状态与控制结构
可信结果要检查单调性、稳定性、边界敏感度、网格收敛与恢复策略的可行性
HJB输出取决于目标和模型，对错误偏好或动态最优的策略并不是稳健交易规则
常见问题
HJB方程表达什么？
它表达任何即时可行行动加最优延续都无法改进价值函数的条件
HJB方程为何是非线性的？
它对控制取上确界或下确界，最佳局部生成元和收益依赖未知价值函数的导数
HJB在金融中如何使用？
用于组合与消费选择、最优执行、做市、存在成本的对冲以及稳健控制
解出HJB就证明策略最优吗？
不能，验证过程还须证明候选价值与策略满足可行性、正则性、边界和可积性条件
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