Lévy过程与跳跃补偿量详解

对Lévy过程X，不相交区间的增量独立，且X_{t+h}-X_t的分布只取决于h

随机连续性在概率意义下排除固定不连续，càdlàg版本则给出右连续且有左极限的路径

增量分布具有时间齐次性，这是便于分析却必须用数据检验的强假设

指定截断约定后，三元组(b, σ², ν)分别表示漂移、布朗方差与Lévy跳跃测度

ν记录不同跳跃大小的预期到达强度，并须满足∫(1∧x²)ν(dx) < ∞

改变截断函数可能改变所报告的b，但一致变换所有项不会改变过程分布

特征函数满足E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u))，其中特征指数ψ由三元组决定

平稳独立增量把时间卷积变为乘法，使特征指数随时间线性缩放

这种结构支持Fourier期权方法，但数值反演仍需控制阻尼、网格与截断

分解把X写成漂移、布朗成分、大跳跃和补偿后的小跳跃

超过任意固定阈值的大跳跃到达强度有限，但有限时间内可能有无限多个小跳跃

无限活动与无限变差是不同性质，应检查ν的积分条件而不能相互推断

若N(dt,dx)计算大小为x的跳跃，Lévy过程的补偿测度是dtν(dx)

Ñ(dt,dx)=N(dt,dx)-dtν(dx)扣除可预测到达量，使适当的意外跳跃积分成为局部鞅

原始跳跃和与补偿积分具有不同漂移，若不调整有限变差项便互换，会改变模型

资产模型常用S_t = S_0e^{X_t}或随机指数，但正性本身不会使贴现价格成为鞅

在所选定价测度下，特征指数必须满足相关指数矩和鞅条件

跳跃产生无法复制的风险，等价鞅测度可能不唯一，因此还需额外价格选择准则

Lévy跳跃可比纯扩散更好地拟合偏度、厚尾和短期期权微笑

若不扩展模型，平稳独立增量会排除波动聚集、杠杆动态和时变跳跃强度

检查矩存在、微小跳跃截断、鞅修正、校准稳定性、尾部外推与样本外对冲误差