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平方根方差能否触及零阅读约15分钟
CIR与Heston模型的Feller条件
理解Feller条件、零边界行为、非负性与严格正性的区别，以及CIR和Heston模型的数值影响
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
对dX_t = κ(θ-X_t)dt + σ√X_t dW_t，Feller条件2κθ ≥ σ²使正值起点无法到达零。若条件失败，精确CIR过程仍保持非负但可以触及零，这与离散计算产生负值是两个不同问题
平方根扩散连接状态与不确定性
CIR过程对短期利率或方差等非负状态使用漂移κ(θ-X_t)与扩散σ√X_t
Kappa控制均值回归速度，theta控制长期水平，sigma控制状态波动
当X接近零，随机冲击缩小，正漂移κθ则把过程推离边界
Feller不等式比较漂移与噪声
假定参数与初始状态为正，标准边界条件为2κθ ≥ σ²
它比较零处向内漂移与扩散强度，而不是检验校准是否贴合期权价格
有些文献采用Feller指数2κθ/σ²或维数4κθ/σ²，因此要核对阈值约定
满足条件带来严格正性
若2κθ ≥ σ²且X_0 > 0，理想连续时间CIR过程无法到达零
状态在每个有限时点保持严格为正，避免接触退化的平方根边界
严格正性强于非负性，不应简化成模型稳定这样的模糊说法
条件失败允许接触而非负值
若0 < 2κθ < σ²，零可以到达，但标准CIR解仍然非负
Theta为正时，零边界会瞬时反射，而不是成为永久吸收状态
因此违反Feller条件本身不会使随机微分方程失效或变成负数
Heston把同一检验用于方差
Heston方差满足dv_t = κ(θ-v_t)dt + ξ√v_t dW_t，以vol-of-vol ξ代替sigma
常见条件为2κθ ≥ ξ²，失败会允许方差触及零并增强边界敏感性
违反条件的Heston校准仍可使用，但解释与数值处理需要更谨慎
离散化造成另一个问题
即使精确过程非负且满足Feller条件，简单Euler步也可能产生负值
完全截断、隐式方法、二次指数方案或精确转移抽样会以不同方式处理边界
直接把负值裁为零会改变模拟模型，因此须检验收敛、偏差与Greeks稳定性
校准需要边界诊断
不仅要报告是否通过，还要报告比率2κθ/ξ²，并跨日期、测度与参数不确定性比较
方差风险溢价会改变均值回归，因此现实测度与风险中性测度的参数可以不同
应检验近零路径、时间步敏感度、转移矩、期权误差与对冲结果后再信任校准
常见问题
CIR过程的Feller条件是什么？
对dX = κ(θ-X)dt + σ√X dW，严格正性的标准条件为2κθ ≥ σ²
Feller条件失败会怎样？
精确过程可以到达零，但在正参数的标准CIR设定中仍保持非负
Heston必须满足Feller条件吗？
并非所有定价用途都必须，但失败会允许方差触零并增加分析与数值问题
模拟为何会产生负方差？
简单Euler等离散方案可能违反精确过程边界，因此需要单独验证
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权