Itô等距與隨機積分變異數
認識Itô等距如何將布朗運動隨機積分的變異數轉成時間積分，以及它對避險誤差與模擬的意義
直接解答
Itô等距表示，平方可積布朗運動隨機積分的平方期望，等於被積過程平方之時間積分的期望。它將隨機路徑風險轉成一般變異數計算，但可預測性與可積性條件不可省略，也不是獲利保證
等距描述累積的平方風險
對可預測過程H，主要關係是E[(∫₀ᵀ H_t dW_t)²] = E[∫₀ᵀ H_t² dt]
在條件成立時，隨機積分的條件平均為零，所以兩端也代表相同的變異數
它不是微分符號的乘法規則，而是由簡單過程極限定義的L²恆等式
階梯暴露可直接驗算
若H從0到0.25固定為2，後續為0，積分就是2(W_0.25 - W_0)
變異數為4 × 0.25 = 1，正好等於H²的時間積分
不重疊區間裡，獨立布朗增量的交叉項在期望下消失。對合格的H，這個計算會延續到極限
避險誤差取決於完整暴露路徑
在擴散避險中，保留的布朗衝擊暴露H_t以∫ H_t dW_t累積
Itô等距顯示，模型中的均方避險誤差取決於所有時間點的暴露，而不是只看最終Delta或平均波動率
兩個避險在一條實現路徑上可能出現相同終值誤差，但盤中暴露不同時，預期平方誤差可以不同
模擬沿用同一份變異數預算
蒙地卡羅增量常寫成H_t√Δt Z，其中Z的平均為0、變異數為1
其條件變異數為H_t²Δt，這些項加總後即為等距的離散對應物
改變時間網格時，應同時比較H²積分預算與抽樣誤差，不能只以增加路徑數驗證結果
其他市場風險不會自動消失
多個布朗因子下，變異數還包含共變異數矩陣與交叉暴露項
跳躍、離散再平衡、交易成本、延遲報價及參數誤差都需另行處理
這個定理僅檢查平方可積的擴散部分，不能預測獲利或保證交易規則安全
常見問題
如何用白話理解Itô等距？
許多微小布朗衝擊造成的變異數，可以藉由各時點暴露大小平方後加總來計算
Itô等距能讓避險沒有風險嗎？
不能。它只描述已指定模型中的布朗部分。跳躍、離散避險、成本與錯誤輸入仍可能造成損失
為什麼必須可預測？
被積過程只能使用下一次布朗衝擊前已知的資訊。若用未來雜訊，就不代表可接受的風險暴露