選擇權定價中的Itô引理詳解

對於平滑的確定性路徑 x(t)，f(t, x) 的局部變化可由時間導數及關於 x 的一階導數描述

擴散路徑雖然連續，卻無法用普通方式平滑微分。它在短時間內的隨機增量與時間平方根同階

因此Taylor展開的二階項與一般時間項一樣大。刪去它，也就刪去了選擇權定價中後來表現為Gamma的效果

以 dW 表示布朗增量。在Itô計算中，dW² 對 dt 有貢獻，而 dt² 與 dt·dW 在相關階數上消失

這是極限結果的簡寫：隨著分割愈來愈細，布朗增量平方的總和收斂至經過的時間

它不是說每個隨機衝擊的平方在普通代數中都等於時間，而是隨機積分採用的極限規則

設 dS = μSdt + σSdW，選擇權價值為 V(t, S)。Itô引理給出其局部隨機變化

漂移項為 Vₜ + μS Vₛ + 1/2 σ²S²Vₛₛ，隨機項為 σS VₛdW，下標代表偏導數

Delta Vₛ 乘在一階衝擊上，Gamma Vₛₛ 則透過二次變異進入與時間同階的漂移

即使價格衝擊的條件平均為零，凸性仍會讓上漲和下跌對選擇權價值造成不對稱影響

1/2 σ²S²Gamma 衡量這種局部曲率貢獻。波動率愈高，彎曲的價值函數累積模型價值的速度愈快

這不代表做多Gamma必然獲利。Theta、權利金、實際路徑、跳躍、偏斜變化與交易成本共同決定損益

持有一份選擇權並賣出對應Delta數量的標的，在擴散假設下可以瞬間抵銷 dW 項

剩餘的局部投資組合被視為無風險，因此一致處理股利和持有成本後，無套利要求它賺取無風險利率

代入此條件後 μ 消失，並得到Black–Scholes偏微分方程。定價關係來自複製，而不是報酬預測

多個相關擴散過程會產生由共變異數加權的交叉二階導數項，將相關性與聯合曲率連結起來

改變狀態過程就會改變生成元和定價方程。局部波動率、隨機波動率及利率模型都使用相關的Itô展開

函數不夠平滑時，邊界和折點要用弱解、廣義公式或數值方法處理，不能任意求導

含跳躍的過程不能只靠連續布朗公式描述。其變化公式要加入不連續跳躍項，並可能形成積分微分方程

真實避險是離散而且有成本的。抵銷無窮小 dW 項並不能消除跳空、流動性、參數及執行風險

Itô引理用來理解模型機制。解讀價格或希臘字母前，應先說明過程、平滑性、測度與交易假設