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隨機指數何時定義測度閱讀約15分鐘
Novikov條件與Kazamaki條件詳解
理解Novikov與Kazamaki判準如何把局部鞅隨機指數變成可用於測度轉換的有效密度
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
Novikov與Kazamaki是充分判準，可保證連續局部鞅的隨機指數在指定期限成為真鞅，通常也是一致可積鞅。只有期望值保持為1，該隨機指數才能作為新機率測度的密度
正局部鞅也可能損失質量
對連續局部鞅M，其隨機指數是Z_t = exp(M_t - ½⟨M⟩_t)
Z是正局部鞅，因而也是超鞅，E[Z_t]可能降到初始值1以下
一旦損失質量，Z_T便不能按原有構造充當機率密度
測度轉換需要真鞅
有限期限密度要求Z_T ≥ 0及E[Z_T] = 1，密度過程須由條件期望值保持一致
一致可積性控制整個期限的變數族，並支援停止時間的一致測度轉換
寫出指數表達式並不能證明它標準化為1或定義等價測度
Novikov控制指數二次變差
固定有限期限T的常見條件是E[exp(½⟨M⟩_T)] < ∞
若M = ∫θ_s dW_s，括號過程是∫₀ᵀθ_s²ds，因此檢驗累積漂移平移平方的指數可積性
它只用二次變差，方便檢查，但可能比實際所需條件更強
Kazamaki考察鞅本身
Kazamaki型判準控制exp(M/2)，通常以停止時間族的次鞅或一致可積條件表述
即使Novikov的指數括號動差無限，它也可能證明隨機指數是真鞅
準確陳述隨期限及定理版本而變，因此應列明使用的判準與符號約定
判準失敗不等於密度失敗
兩項條件都是充分檢驗，不是定義，通常也不是必要條件
Novikov失敗時，Kazamaki、BMO、直接期望計算或模型專用論證仍可能成功
若所有方便檢驗都失敗，不能直接假設真鞅性，嚴格局部鞅仍可能出現
金融依賴期望值等於1這一步
Girsanov漂移轉換與風險中性密度常使用由市場風險價格構造的隨機指數
若密度是嚴格局部鞅而非真鞅，建議的定價測度可能有缺陷或在期限間不一致
同一問題也見於概似比估計、濾波、效用對偶及類似泡沫的模型
期限、跳躍與局部化改變判準
對每個有限T成立的條件，不一定給出無限期限的一致可積性
局部化證明局部恆等式，卻不會在取極限時自動恢復損失的期望質量
跳躍指數需要專門的正值性與可積性條件，不能照搬連續型Novikov公式
常見問題
什麼是Novikov條件？
對[0,T]的連續局部鞅M，常見形式要求E[exp(½⟨M⟩_T)]有限
Novikov條件是必要條件嗎？
不是，它是充分條件，相關動差發散時隨機指數仍可能是真鞅
Kazamaki比Novikov弱嗎？
它能檢驗Novikov遺漏的情況，但準確比較取決於所用定理版本與假設
這些條件為何影響選擇權定價？
它們協助證明Girsanov指數期望值為1，並能定義預期的定價測度
資料來源與延伸閱讀
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