Black–Scholes d1與d2完整解析

d1結合現價相對履約價的對數價內程度、利率與股息持有成本，以及一半變異數項，再除以σ√T。

d2從d1減去σ√T；當波動率與時間為正時，d2總是低於d1。

期限、年化波動率、利率與股息率必須採用一致的日數與複利慣例。

σ√T表示截至到期的模型標準差尺度，因此波動率更高或期限更長會擴大d1與d2的差距。

即使現價等於履約價，持有成本與半變異數項也會使d1與d2不一定以零為中心對稱。

很大的正值代表深度價內模型座標，很大的負值代表深度價外，但都不是完整交易判斷。

歐式買權價格可寫成股票加權項減去折現履約價加權項。

履約價項中的N(d2)連結風險中立模型下到期現價高於履約價、買權產生到期價值的機率。

這個解讀依賴指定的連續對數常態模型與持有成本，不是現實頻率的經驗估計。

無股息Black–Scholes買權的Delta等於N(d1)；若有連續股息率q，則為e^(−qT)N(d1)。

Delta表示其他模型輸入不變時，現價小幅變動所引起的期權理論價值局部變化。

N(d1)與股票計價單位下的權重相關，因此不同於N(d2)代表的現金計價到期機率。

對歐式賣權，到期價內事件是終值低於履約價，在基本模型中與N(−d2)相連。

無股息賣權Delta為N(d1)−1；存在連續股息時則為e^(−qT)(N(d1)−1)。

不要只靠記憶任意翻轉買權公式符號，應把到期給付事件與價格敏感方向分開判斷。

到期價內關心最終價格，觸及機率關心價格是否曾在路徑中到達某個水準。

獲利機率包含進場權利金與損益兩平點，現實預測還可能包含風險溢酬與主觀判斷。

把0.30 Delta讀成「30%獲利機率」混淆了N(d1)、N(d2)、定價與現實測度，以及不同給付門檻。

市場IV會隨履約價與到期日變化，因此所選波動率與曲面慣例會改變d1、d2及其N值。

美式行使、離散股息、借券成本與跳躍都會削弱簡單歐式公式的機率解讀。

平台可能因模型、報價、股息與利率不同而顯示不同Delta，數字不能脫離輸入理解。

記錄現價、履約價、時間戳、剩餘期限、IV、利率、股息、買權或賣權，以及行使方式。

呈現d1、d2或N值時，應精確標示Delta與風險中立到期價內模型機率。

實際決策還要加入給付結構、損益兩平、買賣價差、曲面情境與完整重估，不能只看一個座標。