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二項樹選擇權定價模型詳解
理解二項樹如何利用單期複製、風險中立機率、向後遞推和提前履約比較計算選擇權價值
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
二項樹選擇權定價模型假設標的每一期只會進入上漲或下跌節點，再從到期損益開始向後遞推至目前價值。風險中立機率是符合無套利關係的定價權重，並不是預測市場下一步方向的機率
單期模型包含完整定價邏輯
設標的價格 S 一期後變為上漲狀態 Su 或下跌狀態 Sd，其中上漲係數 u 大於下跌係數 d
選擇權在兩種狀態分別支付 Cᵤ 和 C_d。利用標的和現金的組合，可以同時複製兩種狀態下的支付
複製投資組合與選擇權在每個狀態的支付相同，無套利原則要求兩者目前價值也必須一致
Delta與現金複製兩種狀態
避險比率為 delta = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd)，也就是損益差除以標的價格差
決定Delta後，再用借款或存款補足兩種狀態中剩餘的支付。將這部分現金折現即可得到現值
價格來自逐狀態複製，不需要猜測現實中哪一條分支出現的可能性較高
風險中立機率是定價權重
同一價值也可寫成兩個未來選擇權價值按風險中立機率 q 加權平均後再折現的結果
q 的設定讓包含持有成本的標的期望值依無風險或遠期成長率變動，不必等於歷史上漲頻率
無套利要求含持有成本的成長率介於 d 與 u，使 q 落在0和1之間，否則樹的參數彼此矛盾
重組樹降低計算複雜度
將單期邏輯重複到多個期間。在重組樹中，先漲後跌與先跌後漲會到達同一價格節點
n期後不同的到期價格節點不是 2ⁿ 個，而是 n + 1 個，因此計算仍具有實用性
Cox–Ross–Rubinstein方法通常依波動率和期間長度設定 u 與 d，並讓兩者互為倒數以形成重組
向後遞推產生今天的價值
先在所有到期節點計算合約損益，再從每個父節點把風險中立期望值折現，逐期往前回推
重複直到根節點。每個中間數字都是以該節點可到達狀態為條件的模型價值
股利、利率期限結構和時變波動率必須在每一期一致處理，不能只在最後一次調整
美式選擇權加入逐節點履約選擇
在每個可履約節點比較立即履約價值與折現後的繼續持有價值，美式選擇權取兩者中較高者
這個簡單的最大值運算找出履約區域，也是二項樹比基本歐式Black–Scholes封閉解更靈活的重要原因
履約結果仍取決於模型。離散股利、借券、結算方式和期間長度都會大幅移動估計履約邊界
增加期數只改善近似
在適當設定下，期間變細時，二項價格可收斂至對應的連續時間模型，例如Black–Scholes
履約價在節點之間的位置可能造成收斂震盪，不同的樹參數設定也會改變偏誤和穩定性
更多期數只能減少模型內的離散誤差，不能修正錯誤波動率、遺漏跳躍、股利錯誤或無法成交的報價
使用前應驗證整棵樹
檢查無套利邊界、歐式買權賣權平價、單調性、凸性，以及增加期數時的收斂狀況
將歐式選擇權與封閉解比較，將美式選擇權與獨立方法比較，並測試到期、極端標的價格和除息日
記錄樹的慣例、持有成本、日曆、履約時間表和期數。缺少這些設定，價格就無法重現
常見問題
選擇權定價中的二項樹是什麼？
它是假設標的每期上漲或下跌，再從到期損益向後計算選擇權價值的離散模型
風險中立機率是股價上漲機率嗎？
不是預測機率，而是讓包含持有成本的標的在樹內符合無套利關係的定價權重
二項樹為何會重組？
參數讓先漲後跌與先跌後漲得到同一價格，從而減少不同節點的數量
二項樹能替美式選擇權定價嗎？
可以。模型在每個履約時點比較內含價值與繼續持有價值，並選擇較高者
資料來源與延伸閱讀
把這個概念應用到一份期權
選擇合約和目標，讓價格、時間與波幅假設在同一份分析中清晰呈現
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