仿射過程與 Riccati 方程式詳解

對 Markov 狀態 X，目標形式為 E[e^{u·X_T}|X_t=x]=exp(φ(τ,u)+ψ(τ,u)·x)，其中 τ=T−t

這裡的仿射是指條件轉換的對數等於常數加目前狀態的線性函數

樣本路徑仍可非線性、異質變異並帶跳躍；平方根變異數與跳躍強度都能進入這個類別

常見標準狀態把變異數、強度等非負座標與對數價格等實數座標組合起來

漂移、擴散與跳躍測度必須符合可容許條件，使過程留在狀態空間並定義有效的 Markov 法則

公式看似仿射並不足夠；負變異數、爆炸性跳躍活動或存在條件失效都可能讓設定無效

同一轉換可編碼特徵函數、Laplace 轉換、動差、債券價格及折現給付的組成部分

不必還原完整轉移密度，只要在定價公式要求的複數參數計算 φ 與 ψ

隨機模型提供轉換，反轉換或給付轉換再把它變成價格，這種分工帶來計算優勢

把指數仿射假設代入生成算子方程式後，常數項歸入 φ，關於狀態的線性項歸入 ψ

由此得到 ∂τφ=F(ψ)、∂τψ=R(ψ) 等方程組，初值為 φ(0,u)=0、ψ(0,u)=u

擴散項讓 R 出現二次項，跳躍項加入轉換積分，因此稱為廣義 Riccati 方程式

CIR 使用非負平方根狀態，Heston 把對數價格與平方根變異數結合，同時保留聯合轉換的仿射結構

仿射利率與信用模型可讓短期利率、違約強度或跳躍補償項成為狀態的仿射函數

共享轉換結構不代表模型等價；其狀態限制、尾端行為與經濟含義仍然不同

實頻率上的特徵函數存在，但複數參數所需的指數動差可能只在有限區域內存在

Riccati 解在有限期限爆炸，可能表示某個動差失效，而不一定表示底層機率過程本身終止

閉式表達還須連續選擇平方根與對數的分支；代數等價形式在浮點運算中可能表現不同

定價前應檢查初值、半群關係、共軛對稱、鞅條件及已知極限情況

在期限與參數網格上監控 Riccati 求解器、轉換定義域、分支連續性和容差敏感度

仿射可計算性只是拆分難題，並不會消除校準風險、數值誤差或模型誤設