所有選擇權指南
把特徵函數變成餘弦級數閱讀時間 15 分鐘
COS 方法選擇權定價詳解
理解 COS 方法如何組合截斷密度、Fourier 餘弦係數、給付係數與收斂控制來計算選擇權價格
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
COS 方法先把對數價格分配截到有限區間，再用餘弦級數展開密度，並從特徵函數取得級數係數；把給付函數的餘弦係數與之相乘，就能高效得到穩定且可驗證的折現選擇權價格近似
COS 是 Fourier 級數定價法
假設到期對數狀態 X 的特徵函數已知，選擇權到期給付 v(X)
在一致的定價測度下折現後，目標價值是 v(x)對 X 條件密度的積分
COS 不模擬路徑，也不反向求解價格網格，而是用有限餘弦級數近似該積分
首先截斷無限狀態範圍
對數價格通常位於整條實軸，因此選擇包含大部分經濟相關機率質量的有限區間 [a,b]
[a,b]之外的機率在省略任何餘弦項之前，就已產生狀態域截斷誤差
區間太窄會漏掉尾端；不必要地過寬則需要更多項來解析相同局部特徵
特徵函數提供密度係數
在 [a,b]上，把密度展開為非負整數 k 對應的 cos(kπ(x−a)/(b−a))
餘弦係數由 Re{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}近似，不必明確還原完整密度
常見帶撇號求和對零頻項使用一半權重，這個細小慣例會直接影響價格水準
給付係數完成價格公式
每個密度係數都乘以 v(x)與相應餘弦基函數在 [a,b]上的積分係數
歐式買權與賣權的給付係數有解析表達，其他給付可能需要穩定數值積分
把模型係數與給付係數分開後，多個履約價或契約可重複使用大部分轉換計算
快速收斂具有條件
若密度平滑且餘弦係數快速衰減，隨項數 N 增加往往能取得很快甚至指數式收斂
短期限、尖銳密度、原子質量、厚尾或不連續給付會減慢收斂，並在不平滑點附近產生振鈴
因此 COS 的速度取決於正則性，並非對每個模型和給付都保證固定精度
區間選擇屬於誤差預算
當累積量存在且慣例適用時，常用 c₁±L√(c₂+√c₄)等累積量經驗式
尺度 L 並不通用；若高階累積量不穩定或不存在，熟悉的區間規則也可能誤導
尾端機率界限、更寬的參考區間及多個 [a,b]下的價格穩定性，證據強於單一經驗設定
驗證要分開區間誤差與級數誤差
保持 N 足夠大並擴大 [a,b]以診斷狀態域截斷，再在穩定區間增加 N 檢驗級數收斂
檢查 φ(0)、零項半權重、折現、給付係數、平價、價格界限、單調性與凸性
把 COS 放入校準循環前，應把部分價格和直接 Fourier 求積或獨立方法比較
常見問題
什麼是 COS 方法？
它使用特徵函數給出的 Fourier 餘弦係數近似到期密度並計算選擇權價格
COS 與 FFT 定價相同嗎？
不同。兩者都使用轉換，但 COS 在選定狀態區間計算餘弦展開，不要求相同的聯動 FFT 履約價網格
如何選擇區間 [a,b]？
累積量經驗式很常見，但沒有通用寬度，應結合尾端資訊與多區間價格穩定性驗證
COS 定價為何可能不準確？
區間太窄、項數不足、密度不夠平滑、給付不連續、係數錯誤或轉換輸入無效都可能造成誤差
資料來源與延伸閱讀
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