所有選擇權指南
不必寫出密度也能為選擇權定價閱讀時間 15 分鐘
以特徵函數進行選擇權定價詳解
理解風險中立特徵函數如何編碼分配，並透過 Fourier 反轉換與給付轉換產生選擇權價格
由 Mark 撰寫 · 官方資料列於文末
直接解答
特徵函數 φ(u)=E[e^{iuX}]唯一編碼所選定價測度下對數價格的分配，Fourier 反轉換把該函數與轉換後的給付結合，從而還原折現後的選擇權價值，而不必先寫出完整轉移密度
特徵函數保存完整分配
對實隨機變數 X，φ(u)=E[e^{iuX}]在每個實頻率 u 上都有定義，因為複指數的模恆為一
它與動差母函數不同，僅在實軸上存在並不要求有限的指數動差
所有頻率上的取值唯一決定 X 的分配，並同時編碼位置、離散程度、非對稱性、尾端與不連續性
先確定定價測度與狀態變數
對歐式給付 h(S_T)，基本風險中立價格在適當條件下為 E^Q[e^{-∫r ds}h(S_T)]
轉換法常設 X_T=log S_T 或遠期對數價格，但折現與計價基準慣例必須和轉換一致
若未正確規定測度轉換，就不能把實際測度的特徵函數直接代入風險中立價格
Fourier 反轉換還原機率與密度
在足夠正則的條件下，可從 φ 的逆 Fourier 積分還原密度，也可用其他反轉換公式還原分配函數
Gil–Pelaez 公式透過含 e^{-iux}φ(u)/u 虛部的積分表示累積機率或尾端機率
這些是廣義積分，零附近的極限與高頻行為都需要解析處理和數值控制
給付函數也需要專門轉換
買權給付隨 S_T 增長，若不作阻尼或移動積分路徑，其 Fourier 轉換在整條實軸上不可積
可轉換阻尼後的價格、在適當條帶內轉換給付，或把買權拆成折現資產項與履約價項的機率
數學等價的公式也可能採用不同符號、正規化、狀態變數和複數參數慣例
模型可計算性透過 φ 體現
Black–Scholes、Heston、仿射跳躍擴散與許多 Lévy 模型往往較容易給出特徵函數而非轉移密度
特徵函數反映模型假設、風險中立參數、期限、初始狀態、相關性與跳躍補償項
知道 φ 只是計算優勢，並不能證明所選動態符合觀察到的選擇權價格或未來報酬
數值反轉換帶來誤差預算
有限積分邊界產生截斷誤差，頻率間距產生求積誤差，FFT 網格還會加入混疊與插值誤差
若振盪抵消與複對數分支處理不一致，結果可能平滑但錯誤
自適應求積、控制變數、阻尼、替代公式和更高精度分別針對不同誤差，而非同一通用缺陷
驗證不能只看一個價格
應檢查 φ(0)=1、共軛對稱 φ(−u)=overline{φ(u)}，以及資產價格慣例要求的鞅動差條件
把結果與 Black–Scholes 等已知極限、買賣權平價、單調性、凸性和獨立數值方法比較
改變邊界、網格、阻尼、容差、期限與履約價後，可信有效數字仍應保持穩定
常見問題
什麼是特徵函數？
它是 φ(u)=E[e^{iuX}]，是一種能唯一決定 X 機率分配的複值轉換
為什麼用它為選擇權定價？
許多實用模型能給出閉式或半閉式 φ，卻不能直接給出轉移密度或給付期望
特徵函數與動差母函數相同嗎？
不同。特徵函數使用虛數參數並在實 u 上存在，而指數動差發散時動差母函數可能不存在
直接反轉換 φ 就能得到買權價格嗎？
不能，仍須處理給付、測度、折現與可積性，通常需要阻尼、路徑移動或機率分解
資料來源與延伸閱讀
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