全部期权指南
数值定价阅读约12分钟
期权定价中的蒙特卡洛模拟详解
理解风险中性路径如何转换为期权价值、抽样误差怎样变化，以及如何处理路径依赖与提前行权
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
蒙特卡洛期权定价在指定价格模型下模拟大量路径，计算并贴现每条路径的支付，再取平均值。它是带有抽样误差的模型价值估计，并不会发现市场的真实随机过程，也不会预测最终实际发生的唯一未来路径
价格成为贴现期望值
在选定风险中性模型下，可复制衍生品价值可写成未来支付在模型状态间的平均现值
简单请求权可用闭式积分求解。蒙特卡洛用随机数产生的样本平均替代难以计算的积分
支付可依赖多个资产、日期、平均值、障碍或路径特征，不必为每种产品重新推导一个闭式公式
路径必须服从定价模型
选定标的因素动态，再从今天起模拟至各观察日与支付日的增量
价格测度中的漂移使用模型持有成本，而不是分析师方向预测。相关性、股息、利率与波动率动态必须一致
用网格近似连续过程会引入离散偏差。障碍、跳跃和快速变化的波动率可能需要更细或专用步骤
每条路径产生一个贴现支付
欧式看涨只需终值，其支付是终值减行权价与零之间的较大值
亚式期权还需样本平均，障碍期权需知道是否触及水平，篮子期权需共同模拟各成分
贴现路径支付的平均值就是估计量。支付时点与贴现因子必须符合合约，不能作为最后才附加的细节
抽样误差不是模型误差
有限样本具有随机性，改变种子会令估值略有不同。标准误差大致与路径数量的平方根成反比
路径增加一百倍，普通抽样误差约缩小十倍而不是一百倍，精度越高计算代价越大
置信区间描述编码模型内样本均值的不确定性，不包含错误动态、输入、离散化或程序缺陷
方差缩减提高每条路径的精度
对偶变量把相反冲击成对使用；控制变量借助价值已知的相关支付去除共同噪声
分层、准随机序列、条件计算与共同随机数也可使用，效果取决于支付平滑度、维度与实现
应同时报告方法和误差。没有独立基准却看似稳定的数字，可能隐藏偏差而非拥有更高精度
提前行权需要继续持有价值
顺向模拟适合到期决定的支付，但美式期权会在多个日期比较立即行权与继续持有
Longstaff–Schwartz把未来贴现现金流回归到当前状态函数，再逆向应用行权规则
结果依赖基函数、路径、行权日与状态变量。即使终值模拟正确，差劣回归也会令政策产生偏差
验证需要多种收敛检查
先重现具有可靠闭式公式或独立方法的合约，再改变路径数、时间步长、种子与方差缩减设置
分别追踪估计值、标准误差、运行时间和离散趋势。更多路径只减少抽样噪声，不能修复有偏网格或模型
生产使用应固定惯例、测试边界、记录种子和版本，并比较价格与希腊字母的可重复性
常见问题
蒙特卡洛需要多少条路径？
没有通用数量，应报告标准误差、检查更大样本的收敛，并采用符合决策的容许误差
蒙特卡洛会预测未来股价吗？
不会。定价路径只是在风险中性模型中抽样以评估支付，不是预测最终发生的一条现实路径
为什么蒙特卡洛收敛较慢？
普通抽样误差大致按路径数平方根的倒数下降，因此多获得一位精度可能需要大量额外计算
蒙特卡洛能定价美式期权吗？
可以，但不能只平均终值。Longstaff–Schwartz等方法会逆向估计继续持有价值与行权政策
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权