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二叉树期权定价模型详解
理解二叉树如何利用单期复制、风险中性概率、向后递推和提前行权比较计算期权价值
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
二叉树期权定价模型假设标的在每一期只会进入上涨或下跌节点，再从到期收益开始向后递推至当前价值。风险中性概率是满足无套利关系的定价权重，并不是对市场下一步方向的预测概率
单期模型包含完整的定价逻辑
设标的价格 S 一期后变为上涨状态 Su 或下跌状态 Sd，其中上涨系数 u 大于下跌系数 d
期权在两种状态分别支付 Cᵤ 和 C_d。利用标的和现金的组合，可以同时复制这两种状态下的支付
复制组合与期权在每个状态的支付相同，无套利原则要求它们当前的价值也必须相同
Delta与现金复制两种状态
对冲比例为 delta = (Cᵤ − C_d) / (Su − Sd)，即收益差除以标的价格差
确定Delta后，再用借款或存款补足两种状态中剩余的支付。将这部分现金贴现即可得到当前价值
价格来自逐状态复制，不需要猜测现实中哪条分支出现的可能性更高
风险中性概率是定价权重
同一价值也可写成两个未来期权价值按风险中性概率 q 加权平均后再贴现的结果
q 的设定使包含持有成本的标的期望值按无风险或远期增长率变化，不必等于历史上涨频率
无套利要求包含持有成本的增长率处于 d 与 u 之间，使 q 落在0与1之间，否则树的参数相互矛盾
重组树降低计算复杂度
将单期逻辑重复到多个时期。在重组树中，先涨后跌与先跌后涨会到达同一个价格节点
n期后的不同到期价格节点不是 2ⁿ 个，而是 n + 1 个，因此计算可以保持实用
Cox–Ross–Rubinstein方法通常根据波动率和时间步长设定 u 与 d，并让二者互为倒数以实现重组
向后递推生成当前价值
先在所有到期节点计算合约收益，再从每个父节点对风险中性期望贴现，逐期向前回推
一直重复到根节点。每个中间数字都是以该节点可到达状态为条件的模型价值
股息、利率期限结构和时变波动率必须在各期一致处理，而不是最后只做一次调整
美式期权增加逐节点行权选择
在每个可行权节点比较立即行权价值与贴现后的继续持有价值，美式期权取两者中的较大值
这个简单的最大值运算识别行权区域，也是二叉树比基本欧式Black–Scholes闭式公式更灵活的重要原因
行权结果仍取决于模型。离散股息、融券、结算方式和时间步长都会显著移动估计的行权边界
增加期数只改善近似
在适当设定下，时间步长变细时，二叉树价格可收敛到相应的连续时间模型，例如Black–Scholes
行权价在节点间的位置可能导致收敛振荡，不同的树参数化也会改变偏差和稳定性
更多期数只能减少模型内的离散误差，无法修正错误波动率、遗漏跳跃、股息错误或不可成交报价
使用前应验证整棵树
检查无套利边界、欧式看涨看跌平价、单调性、凸性，以及增加期数时的收敛情况
将欧式期权与闭式公式比较，将美式期权与独立方法比较，并测试到期、极端标的价格和除息日
记录树的约定、持有成本、日历、行权时间表和期数。缺少这些设定，价格无法复现
常见问题
期权定价中的二叉树是什么？
它是假设标的每期上涨或下跌，并从到期收益向后计算期权价值的离散模型
风险中性概率是股价上涨概率吗？
不是预测概率，而是让包含持有成本的标的在树内满足无套利关系的定价权重
二叉树为什么会重组？
参数使先涨后跌与先跌后涨得到同一价格，从而减少不同节点的数量
二叉树能为美式期权定价吗？
可以。模型在每个行权时点比较内在价值与继续持有价值，并选择较大者
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权