全部期权指南
条件估值阅读约12分钟
期权定价中的鞅详解
理解条件期望、贴现可交易价格为何在定价测度下成为鞅，以及这一概念不代表什么
由 Mark 编写 · 官方资料列于文末
直接答案
鞅是在指定信息与概率测度下，未来值的条件期望等于当前值的随机过程。在期权定价中，为消除融资增长而适当贴现的可交易资产价格会在风险中性测度下具有这一性质，但实现路径仍可剧烈波动
条件期望是定义的核心
令 Mₜ 为随机过程、Fₜ 为 t时刻可用信息，则对每个更晚时刻 u，鞅满足 E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ 及可积条件
条件二字至关重要。预测使用当前已知的全部信息，而不只是长期无条件平均值
定义总要指定概率测度和信息流。同一个过程在一个测度下可能是鞅，在另一个测度下可能不是
鞅可以波动且仍然有风险
公平游戏不表示下一个数值等于当前数值，而是正负条件变化在期望上相互平衡
只要所需期望存在，大幅跳跃、宽分布和路径依赖不确定性都可与鞅性质共存
鞅也不表示增量独立。只要满足条件均值限制，过程仍可保留依赖关系
贴现消除融资增长
交易资产通常包含持有成本、股息或融资效应，因此未贴现价格在定价测度下不必是鞅
将总回报价值除以货币市场账户等计价基准。在适当无套利假设下，贴现过程成为鞅
更换计价基准会改变相关测度以及哪些相对价格为鞅，价值单位本身就是命题的一部分
期权价值变成条件期望
对于 T时刻可复制收益 H，今天的贴现价值等于定价测度下贴现收益的条件期望
这不是按历史频率取平均。选择该测度是为了让贴现可交易价格与无套利保持一致
公式浓缩了动态复制论证，并未消除对交易、模型状态、股息与融资的假设
二叉树直接展示运行机制
选择上涨与下跌定价权重，使贴现标的下一期望值等于当前贴现价值
将相同权重用于期权下一节点价值，再贴现向后递推，重复后得到根节点价格
树中的风险中性概率是鞅权重，并非断言现实股票的预期超额收益为零
次鞅与上鞅表达不等式
次鞅的未来条件期望至少等于当前值，上鞅的未来条件期望最多等于当前值
在约束、消费、美式行权和超级对冲中，精确等式可能被单边界取代，这些概念便会出现
名称本身不预测可交易利润，测度、贴现、可接受性和可积性仍决定如何解释
可选停止需要满足条件
人们容易以为任何停止公平游戏的规则都保持期望，但可选停止定理要求有界性、可积性等条件
不断加倍下注的策略可能违反可接受性或需要无限资本，并不能从鞅定义创造实际套利
美式期权停止问题使用严格定义的行权时刻与价值过程，并不承诺择时无关紧要
模型与真实市场不是同一对象
观察价格包含价差、陈旧报价、约束与离散交易。模型鞅只是在明确理想化条件内的陈述
严格局部鞅、泡沫、无界收益和测度存在问题说明技术条件并非总能省略
应用鞅公式前，要说明过程、测度、计价基准、信息流、收益可积性与可用交易策略
常见问题
简单来说什么是鞅？
给定当前信息后，其未来值在指定概率测度下的期望等于当前值
鞅价格会保持不变吗？
不会。实现路径可以剧烈波动，受到限制的只是未来值的条件均值
鞅定价为什么要贴现资产价格？
按计价基准贴现可消除模型中的融资增长，使相对交易价值能够满足鞅条件
现实股价是鞅吗？
脱离测度无法回答。必须同时说明价格过程、股息、计价基准、信息和概率测度
资料来源与延伸阅读
把这个概念应用到一份期权
选择合约和目标，让价格、时间与波动率假设在同一份分析中清晰呈现
分析我的期权