変分不等式とアメリカンオプションの自由境界

g(t,S)を行使ペイオフ、V(t,S)をアメリカン価値とします

保有者は今行使できるため、満期前の全許容時点と状態でV ≥ gです

ペイオフは終端条件だけでなく、価値面の下に置かれた障害になります

V > gの場所では即時行使が最適でなく、オプションは存続します

継続領域では配当や期間支払いを含め∂_tV + LV - rV + f = 0です

方程式を行使領域にも強制すると、保有者の停止権を無視します

よく使う規約はmax(g-V, ∂_tV + LV - rV + f) = 0です

V-g ≥ 0で継続残差は整合する符号を持ち、各点で少なくとも一条件が等号になります

同値なmin形では符号が逆なので、作用素と不等式規約を一緒に確認します

V = gの集合が停止領域、V > gが継続領域です

界面の位置は価値問題を解く前には未知なので自由境界と呼ばれます

標準アメリカンプットでは時間依存の臨界価格が多いですが、金利、配当、ジャンプ、制約が形を変えます

正則な境界で価値接合はV = gを与え、smooth fitでは一次微分も一致し得ます

Smooth fitには追加の経路と正則性が要り、ジャンプ、キンク、不規則境界、制約では失敗し得ます

普遍的定義ではなく、選んだモデルで正当化すべき定理として扱います

有限差分格子は各時間段階で線形相補性問題を作ります

Projected SOR、罰則法、方策反復、境界固定、回帰停止規則は同じ選択の別の近似です

障害支配、残差相補性、境界単調性、格子収束、実行方策の下界を確認します

無配当株のアメリカンコールは標準的な正金利下で通常早期行使しませんが、例外が重要です

配当、負金利、借入費用、離散支払い、決済、行使締切は通常の結論を逆転させ得ます

実契約と状態を使い、単純モデルの滑らかな境界を取引可能な行使規則の証拠にしないでください