金融におけるStable Distributionと無限分散

独立な複製X_1、X_2と正のa、bについてaX_1+bX_2があるc>0、dでcX+dと同じ法則なら分布は安定です

この閉包性により和も同じ分布形状族に残るため、集約モデルとして自然です

正規分布はα=2の安定分布であり、安定というだけで重い裾や無限分散を意味しません

安定指数αは(0,2]、歪度βは[−1,1]にあり、尺度と位置が明示したパラメータ化で大きさと中心を決めます

α<2では非退化条件の下で裾が指数αの正則変動を示し、極端値は正規分布より大幅に増えます

安定密度は通常、初等的閉形式を持たず、特にα=1付近でパラメータ化が異なるため実装規約が重要です

α<2の非正規安定則は、有限データの標本分散が有限でも母集団分散が無限です

絶対一次モーメントはα>1でだけ有限で、α≤1では通常の母集団平均も一般に存在しません

増え続ける標本分散や不安定な平均は重い裾と整合しても、それだけで無限モーメントの証明にはなりません

独立同分布変数の正規化した和が非退化極限へ収束するなら、可能な極限は安定則です

有限分散の入力はGaussian α=2へ、適切な正則変動入力はα<2の安定極限へ進み得ます

集約尺度は√nでなくn^(1/α)であり、中心化はαとパラメータ化に依存します

Mandelbrotは投機価格変化にGaussianモデルより大きな動きが多いことからStable Paretian則を提案しました

FamaはStable Paretianリターンと、有限分散がなくても分散投資が機能する条件を研究しました

その後のボラティリティ集中、切断裾、局面変化は、正確なiid安定性以外でも重いリターンを説明します

正確なα<2モデルは分散が大きいのでなく、あらゆる期間で有限な母集団分散がないと主張します

Tempered stable、切断安定、混合、ジャンプ、GARCH、確率的ボラティリティは有限モーメントで重い標本を作れます

有限データは真の無限裾と遠い有限切断点を区別しにくく、対数図の直線部分だけでは主張できません

複数手法でαと不確実性を推定し、特性関数適合、分位点、超過、パラメータ安定性を調べます

期間別の和が予測通り再尺度化するか、適合後も残差依存やボラティリティ集中が残るか確認します

有限分散の代替案と予測裾被覆率や判断を比較し、適合モデルで存在しないモーメントを報告します