モーメント爆発とLeeのモーメント公式を理解する

非負の満期価格S_Tに対し、E[S_T^r]はrが正なら高価格を、負ならゼロに近い価格を強く重み付けします

有限分散は一つの次数だけを扱いますが、オプション・ウイングは有限な正モーメントと逆モーメント全体の境界に関係します

これは固定満期のリスク中立モーメントで、現実リターンの標本推定値や将来頻度の約束ではありません

次数rの爆発時刻をT_c(r)=sup{t:E[S_t^r]<∞}と定義し、モデルによっては極端なrでT_c(r)が有限になります

確率過程の各経路が適切に定義されても、非常に稀な結果が高次の期待値を無限にすることがあります

したがって、分散のゼロ接触、シミュレーションの負値、資産経路の有限時間発散とは別の概念です

満期Tで右側はp_c=sup{p≥0:E[S_T^{1+p}]<∞}、左側はq_c=sup{q≥0:E[S_T^{-q}]<∞}と定義します

p_cが大きいほど有限な正モーメントが多く右裾は軽く制約され、q_cはゼロ付近の左裾に同じ情報を与えます

臨界値は満期、モデル・パラメータ、価格評価測度、境界点を含むかという規約で変わります

k=log(K/F_T)、総インプライド分散w(k,T)=σ_imp(k,T)²Tを整合するフォワード規約で定義します

右ウイングはlimsup_{k→∞}w(k,T)/k=ψ(p_c)で、ψ(x)=2−4(√(x²+x)−x)、左側はψ(q_c)を使います

ψは2から0へ下がるため、有限モーメントが少ないほど急なウイングを許し、多いほど漸近傾きを平らに制限します

これは極端な対数マネーネスのlimsupであり、上場行使価格の局所スキューや、任意の点から始まる正確な直線ではありません

モーメントから漸近傾きを定めますが、切片、曲率、収束速度、有限行使価格のスマイルは定めません

無裁定が枠組みを与えても、実用的な面は行使価格と満期全体でカレンダーとバタフライの整合性が必要です

Hestonなどのアフィン・ボラティリティモデルでは、指数モーメントが実変換引数の一般化Riccati解と結び付きます

特定次数のRiccati解が爆発し得るため、モデル・パラメータから爆発時刻や臨界モーメントを計算できます

実周波数の特性関数が有効でも、オプション変換に必要な複素シフトが有限モーメント領域外の場合があります

満期ごとにp_cとq_cを計算し、マルチンゲール条件を別に確認して、減衰が有限モーメント帯域内か調べます

較正した傾きをLeeの境界、実際の気配範囲、静的無裁定検査、パラメータ不確実性と比較します

不安定な臨界モーメントはモデルリスクの証拠であり、小さな較正差が流動的行使価格の外で大差を生みます