Lévy過程とジャンプ補償測度

Lévy過程Xでは非重複区間の増分が独立で、X_{t+h}-X_tの法則はhだけに依存します

確率連続性は固定不連続を確率的に除き、càdlàg版は右連続で左極限を持つ経路を与えます

増分法則が時間同質という強い仮定は解析に有用ですが、データで検証すべき対象です

切断規約を決めると、三つ組(b, σ², ν)がドリフト、ブラウン分散、Lévyジャンプ測度を表します

νはジャンプサイズ別の期待到着強度を記録し、∫(1∧x²)ν(dx) < ∞を満たします

切断関数を変えると表示ドリフトbも変わり得ますが、全項を整合的に変換すれば法則は同じです

特性関数はE[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u))で、特性指数ψは三つ組により決まります

定常独立増分は時間方向の畳み込みを積へ変え、特性指数を時間に線形比例させます

Fourierオプション法を支える構造ですが、数値逆変換には減衰、格子、切断の管理が要ります

分解はXをドリフト、ブラウン成分、大きなジャンプ、補償済み小ジャンプに分けます

固定閾値より大きなジャンプの到着強度は有限でも、有限時間に小さなジャンプが無限個あり得ます

無限活動性と無限変動は別の性質なので、νの積分条件を見て判断します

N(dt,dx)がサイズxのジャンプを数えると、Lévy過程の補償測度はdtν(dx)です

Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx)は予測可能な到着量を引き、適切な驚きの積分を局所マルチンゲールにします

生のジャンプ和と補償積分はドリフトが異なり、有限変動項を直さず交換するとモデルが変わります

S_t = S_0e^{X_t}や確率指数を使っても、正値性だけで割引価格がマルチンゲールにはなりません

選んだ価格測度で特性指数が必要な指数モーメントとマルチンゲール条件を満たす必要があります

ジャンプは複製不能リスクを作るため測度が非一意になり、追加の価格選択規則が要ります

Lévyジャンプは純粋拡散より歪度、厚い裾、短期スマイルをよく合わせられます

定常独立増分は拡張なしにはボラティリティ集中、レバレッジ動学、時変ジャンプ強度を除外します

モーメント存在、小ジャンプ切断、マルチンゲール補正、校正安定性、裾外挿、標本外ヘッジ誤差を検査します