Kolmogorov前進・後退方程式の違い

P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x]という遷移作用素は将来関数を現在状態へ写します

Chapman–Kolmogorov関係P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u}は中間時点を入れても全体遷移が同じことを示します

前進と後退方程式は、同じ半群または二パラメータ進化族を微分した二つの見方です

dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_tなら、a=σ²としてL_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φです

生成作用素は状態の試験関数が示す瞬間的な条件付き変化を要約します

過程、状態空間、定義域、境界挙動までが生成作用素を決め、形式的な微分式だけでは不十分です

終端関数gに対しu(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x]、s ≤ tと置きます

適切な正則性の下で∂_s u + L_su = 0と終端条件u(t,x) = g(x)を満たします

終端関数を固定し、条件を置く時点sを現在へ動かすため後退と呼ばれます

境界項を処理して∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dxとなるようL_t†を定義します

一次元拡散ではL_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)です

随伴は生成作用素を試験関数から密度へ移し、部分積分に応じて微分方向を変えます

状態密度ρ(t,x)は初期分布から∂_tρ = L_t†ρを満たします

遷移密度では出発点を固定し、到着変数と将来時間を進めます

正規化、非負性、確率流、境界条件が形式解を有効な確率法則にします

デリバティブ評価は通常終端ペイオフから後退し、割引は消滅項を加えます

分布予測、エクスポージャー、密度校正、一部リスク計算は今日の分布から前進します

後退価値は将来ペイオフを前進遷移密度で積分した値と一致し、相互検証できます

吸収、反射、流入、到達不能境界は異なる価値条件と確率流条件を課します

意図した質量保存または損失、正値性、初期と終端データ、随伴離散化、格子収束を確認します

独立Monte Carlo推定は符号、ドリフト、境界、時間方向の誤りを見つける助けになります