Kalman Filterの予測・innovation・更新

各時点で持つのは滑らかな線上の一点だけでなく、状態推定値と誤差共分散です。

線形性は状態と観測を過去状態と攪乱のアフィン関数にし、Gaussian 仮定は条件分布を Gaussian に保ちます。

そのモデルでは条件付き平均が平均二乗誤差を最小にします。モデル外でも有用ですが同じ最適性は主張できません。

遷移行列は以前の状態推定を前方へ写し、既知の制御や入力が予測平均を移動できます。

共分散も伝播し、プロセスノイズ分だけ増えます。速く変わる状態は観測間で不確実になります。

この事前予測は現在観測を使いません。更新と分けることでリアルタイム情報を監査できます。

Innovation は観測値から観測式の予測値を引いた、事前状態が予想しなかった部分です。

その分散は投影した状態不確実性と測定ノイズを合わせます。分散が大きければ大きな生の驚きも普通かもしれません。

仕様が正しければ標準化 innovation は予測不能なノイズに近く、系列パターンは未吸収情報を示します。

Gain は innovation を状態修正へ写し、測定に比べて状態予測が不確実なほど大きくなります。

観測ノイズが大きければ gain は小さく、精密な測定なら驚きの多くが状態修正になります。

一般に固定平滑パラメータではなく、共分散、欠測、時変システム行列に応じて変わります。

観測後は不確実性が解消され状態共分散が縮み、次の予測でプロセスノイズにより再び広がります。

丸め誤差が非対称や非半正定値行列を作るため、数値的に安定した共分散式が重要です。

フィルター共分散だけの信頼帯はパラメータ不確実性を除く場合があります。遷移やノイズの推定にも誤差があります。

初期状態は既知、定常、推定、diffuse にできます。初期フィルター値は選択に強く依存し得ます。

予測誤差と分散から Gaussian 尤度を作り未知パラメータを推定します。見た目の滑らかさだけでノイズを調整しません。

初期化、保留予測、境界推定を比較します。ゼロ近くの分散や一近くの持続性は弱い識別の兆候です。

Extended Filter は非線形関数を局所線形化し、Unscented Filter は選択点を伝播し、Particle Filter は状態分布を模擬します。

自動的に精度が上がるわけではありません。強い非線形、厚い裾、多峰状態には各手法の診断が要ります。

全市場状態に一つの線形 Gaussian 再帰を強制するより、外れ値頑健モデルやレジーム転換が適切な場合があります。

ノイズのある気配値から効率価格、時変 beta、イールドカーブ因子、変動ヘッジ比率を推定できます。

推定値はモデルとパラメータを条件にします。「予測」という語が明日のリターンを教えるわけではありません。

各日付に実際に使えた情報で一段階 innovation、ローリング予測、状態修正、回転率、取引費用を評価します。