Esscher変換とオプション価格評価

M(θ) = E[e^{θX}]が有限なXに対しdQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)と定めます

正のθは大きな結果、負のθは小さな結果を強調し、正規化が新しい重みの合計を一にします

観測結果でなく確率を変える操作で、必要な指数モーメントが有限な領域だけで存在します

モーメント領域でκ(u) = log E[e^{uX}]と置きます

Esscher測度下のキュムラントはκ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)です

有限ならゼロでの導関数が傾斜後モーメントを与え、サドルポイント近似やリスク計算に便利です

Lévy過程X_tの密度過程はZ_t = exp(θX_t - tκ(θ))です

定常独立増分により、有効なモーメント領域のθではZが正のマルチンゲールになります

Q_θでもLévy過程ですが、ドリフトとジャンプ法則が変わり、経路と零確率事象は整合します

適切な規約でν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)となります

ブラウン分散は不変で、ドリフトはブラウン傾斜、ジャンプ補償、切断規約に合わせて変わります

切断関数を示さずドリフトだけ比較すると、見かけの不一致が生じます

S_t = S_0e^{X_t}、キャリーr-qならκ_θ(1) = r-qが必要です

同値に、両モーメントが存在するときκ(θ+1) - κ(θ) = r-qを解きます

解がない場合や一つの場合があり、モーメント境界付近では数値的に不安定です

ジャンプリスクは通常完全複製できず、複数の同値マルチンゲール測度が無裁定を満たします

Esscher規則は指数傾斜したモデル族を保つ一つを選びますが、無裁定だけで優越しません

選好、校正目標、エントロピー、ヘッジ目的、市場規約が別の測度を示す場合があります

θとθ+1のモーメント領域、密度正規化、同値な支持、マルチンゲール等式、変換三つ組を確認します

標本内θが安定しても裾外挿は不安定なため、満期や局面ごとに再校正します

別の許容測度と価格やヘッジ誤差を比較し、Esscher選択のモデルリスクを可視化します