Edgeworth展開とGram–Charlier展開の違い

変数を標準化した後、両手法は通常Hermite多項式で正規密度への補正を書きます

歪度は非対称な補正を、超過尖度はガウス基準に対する肩とテールの変化を作ります

共通の記法により交換可能に見えますが、導出と解釈は異なります

Gram–Charlier級数は、基準密度の導関数にキュムラント差を重み付けして目標密度を表します

実務では解釈しやすいため歪度と尖度を残しても、それらが一つの制御された誤差次数に属するとは限りません

収束が悪いか存在しない場合があり、形式項を増やしても選んだ点で精度が上がる保証はありません

標準化した和ではキュムラントがnに対して既知の速度で縮み、補正をn^{-1/2}などのべきでまとめられます

次の次数には第四キュムラントだけでなく第三キュムラントの二乗も入り、次のHermite項を足すだけではありません

したがって確率変数列、正規化、主張する有効領域を明示して初めて打ち切りに意味があります

補正したリスク中立密度でペイオフを積分するか、Black–Scholesなどの基準価格まわりに展開します

Jarrow–Ruddは選んだ近似分布まわりの展開を示し、Corrado–Suは歪度と尖度のGram–Charlier補正を応用します

オプションから推定したキュムラントはリスク中立の価格量であり、現実のリターン頻度の直接予測ではありません

最初の四モーメントが同じでも、暴落や極端な上昇に異なる確率を与える分布は多数あります

Hermite補正は中心から離れるほど急増し、平均近くで小さい項もテールでは支配的に振動し得ます

高次の標本・インプライド・モーメントも雑音が大きく、係数は不安定で較正した権利行使価格範囲に依存します

近似密度は負になり、積分が1にならず、一部でCDFが減少することがあります

オプションでは価格境界、権利行使価格方向の単調性、バタフライ凸性の違反として現れます

再正規化は総質量だけを直し、正値性、フォワード平均、全無裁定条件を自動回復しません

基準法則、標準化、保持した漸近次数、キュムラント規約、有効な権利行使価格領域を明示します

密度の正値性と正規化、割引フォワードの回復、広い格子でのコール価格の単調性と凸性を調べます

流動的な範囲外へ外挿する前に、正の密度モデルや直接補間と標本外比較を行います