リスク分位点のCornish–Fisher展開

確率pに対しz_p=Φ^{-1}(p)を標準正規分位点とします

Cornish–Fisherはz_pを補正し、目標の平均μと標準偏差σで再スケールします

pに対応する閾値を答えますが、その先の密度や平均損失までは与えません

標準化歪度γ₁と超過尖度γ₂を使う代表式はz_p+γ₁(z_p²−1)/6から始まります

γ₂(z_p³−3z_p)/24−γ₁²(2z_p³−5z_p)/36を加え、σを掛けてμを足します

γ₁²項は、漸近次数が高次モーメントごとに一項を足す順序とは違うことを示します

Cornish–Fisherは累積分布のEdgeworth近似を逆に解いて導けます

Edgeworthは所与のxで密度やCDFを、Cornish–Fisherは選んだ累積確率を作るxを近似します

両者とも制御された打ち切りには確率変数列とキュムラントのスケール規則が必要です

現実リターンの入力は過去・予測VaRを補正し、オプション内包キュムラントはリスク中立分布を表します

どちらも歪度と尖度を使いますが異なる問いに答えるため、無区別に混ぜられません

Cornish–Fisherは閾値だけを与え、テール全体を要する期待ショートフォールは単独で計算できません

多項式補正は|z_p|とともに急増し、pが増えても推定分位点が下がることがあります

大きな歪度や尖度は近似を変数の台の外へ出し、意図したテール順序を逆転させ得ます

単調再配置は順序を直せますが、修正曲線は元の打ち切り展開そのものではありません

標本歪度と尖度は外れ値、窓、局面変化、時系列依存に敏感で雑音が大きい量です

推定入力を既知と扱うと、形式的な補正より大きいパラメーター不確実性を無視します

極端テールは係数誤差と打ち切り誤差を増幅し、リスク判断の影響も最大になります

密な確率格子でq(p)の単調性、有限性、台の制約、妥当な端点挙動を確認します

正確な分布、シミュレーション、bootstrap区間、標本外超過頻度と複数水準で比較します

キュムラント規約、期間、依存処理、打ち切り次数、修正法、別の期待ショートフォール計算を記録します