金融におけるCopulaとTail Dependence

各資産の周辺分布は単独の結果を表し、依存構造はその確率順位が共に現れる方法を決めます

個別損失分布と線形相関が同じ二つのポートフォリオでも、同時暴落確率は大きく異なり得ます

Copulaは分離を明示しますが、片方の誤りを隠さないよう周辺分布とCopulaを十分に一体で推定します

周辺分布F_1,…,F_dを持つ結合分布FはF(x_1,…,x_d)=C(F_1(x_1),…,F_d(x_d))と書けます

周辺分布が連続ならCopula Cは一意で、変数の厳密な増加変換でも変わりません

この不変性は順位依存を自然にしますが、依存性が時不変または少ないデータで完全識別できるとは限りません

Pearson相関は分布全体の線形な共変動を要約し、周辺尺度と外れ値に敏感です

連続周辺でCopulaに基づくKendall tauやSpearman rhoも依存を平均し、遠い角だけを表しません

したがって通常の共変動をよく合わせながら、同時の大損失確率を過度に低くするモデルもあります

上側裾依存はλ_U=lim_{q→1}P(V>q|U>q)、下側はλ_L=lim_{q→0}P(V≤q|U≤q)です

損失変数では符号慣例で注目する角が変わり、株式リターンの暴落は通常下側、正の損失額は上側の裾にあります

係数ゼロは漸近的な裾独立を意味し、有限の高い閾値すべてで独立という意味ではありません

非退化Gaussian Copulaは正の相関でも漸近裾依存がゼロですが、有限自由度のt Copulaは対称な正の裾依存を持ちます

Claytonは下側、Gumbelは上側の裾依存を強調し、変数の回転や変換で表す金融上の角が変わります

慣れているだけで分布族を選ぶと、対称性、集中度、条件付き極値を含む危機の形状も暗黙に選びます

必要に応じ時系列動学とボラティリティを除き、較正した残差を確率順位へ変換して一様性を確認します

Copulaパラメータを不確実性と共に推定し、裾加重診断、保留標本尤度、条件付き超過図で族を比較します

短い標本は同時極値が少なく、長い履歴の一括利用は異なる局面を混ぜて偽の精密さを生みます

複数の妥当な周辺分布、Copula、時変仕様でVaR、Expected Shortfall、ストレス損失、分散効果を再計算します

各資産の個別検証や相関行列の一致だけでなく、同時超過と条件付き失敗をバックテストします

実際の資本判断は数学的極限より手前で行うため、漸近係数と共に有限閾値での依存性を報告します