アフィン過程とRiccati方程式を理解する

Markov状態Xについて、τ=T−tとしてE[e^{u·X_T}|X_t=x]=exp(φ(τ,u)+ψ(τ,u)·x)という形を求めます

アフィンという語は、条件付き変換の対数が定数と現在状態の線形関数の和になることを指します

経路自体は非線形で、不均一分散やジャンプを持てるため、平方根分散やジャンプ強度も含まれます

典型的な状態は、分散や強度のような非負座標と、対数価格のような実数座標を組み合わせます

ドリフト、拡散、ジャンプ測度は、過程が状態空間に留まり正しいMarkov法則を定める許容条件を満たす必要があります

式がアフィンらしくても、負の分散、爆発的なジャンプ活動、存在条件の不成立があれば有効な仕様ではありません

同じ変換が特性関数、Laplace変換、モーメント、債券価格、割引ペイオフの部品を表せます

遷移密度全体を復元せず、価格式が必要とする複素引数でφとψを評価します

確率モデルが変換を供給し、逆変換やペイオフ変換が価格へ変える分業が計算効率を生みます

指数アフィン形を生成作用素の方程式へ代入すると、定数項はφ、状態に線形な項はψへまとまります

結果は∂τφ=F(ψ)、∂τψ=R(ψ)と初期条件φ(0,u)=0、ψ(0,u)=uから成る連立系です

拡散はRに二次項を作り、ジャンプは変換積分を加えるため、一般化Riccati方程式と呼ばれます

CIRは非負の平方根状態を使い、Hestonは対数価格と平方根分散を結びながら結合変換のアフィン性を保ちます

アフィン金利・信用モデルでは、短期金利、デフォルト強度、ジャンプ補償項を状態のアフィン関数にできます

変換構造が共通でもモデルは同じではなく、状態制約、裾の挙動、経済的意味はそれぞれ異なります

実周波数上の特性関数は存在しても、複素引数で必要な指数モーメントは限られた領域でしか有限でない場合があります

Riccati解の有限時間爆発は、確率過程そのものの終了ではなく、対象モーメントの不存在を示すことがあります

閉形式でも平方根と対数の枝を一貫して選ぶ必要があり、代数的に等しい式が浮動小数点では違う挙動をします

価格計算前に初期値、半群関係、共役対称性、マルチンゲール条件、既知の極限を確認します

満期とパラメータの格子全体で、Riccatiソルバー、変換領域、枝の連続性、許容誤差への感度を監視します

アフィン性は難問を小さく分けるだけで、較正リスク、数値誤差、モデル誤設定を消すものではありません