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¿Puede la varianza raíz llegar a cero?15 min de lectura
Condición de Feller en los modelos CIR y Heston
Comprende la condición de Feller, la frontera cero, no negatividad frente a positividad estricta y sus efectos numéricos en CIR y Heston
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Para dX_t = κ(θ-X_t)dt + σ√X_t dW_t, la condición de Feller 2κθ ≥ σ² impide alcanzar cero desde un inicio positivo. Si falla, el proceso CIR exacto sigue no negativo pero puede tocar cero, algo distinto de los negativos numéricos
La difusión raíz vincula nivel e incertidumbre
El proceso CIR usa deriva κ(θ-X_t) y difusión σ√X_t para un estado no negativo como tipo corto o varianza
Kappa controla reversión, theta el nivel de largo plazo y sigma la volatilidad del estado
Al acercarse X a cero, el choque aleatorio disminuye y la deriva positiva κθ aleja el proceso de la frontera
La desigualdad compara deriva y ruido
Con parámetros e inicio positivos, la condición de frontera estándar es 2κθ ≥ σ²
Compara la deriva interior en cero con la intensidad de difusión, no si una calibración ajusta precios
Algunos textos usan índice 2κθ/σ² o dimensión 4κθ/σ², por lo que hay que comprobar la convención
Cumplirla da positividad estricta
Si 2κθ ≥ σ² y X_0 > 0, cero es inalcanzable para el proceso CIR continuo ideal
El estado sigue estrictamente positivo en tiempos finitos y evita la frontera degenerada de raíz cuadrada
La positividad estricta es más fuerte que no negatividad y no equivale a decir vagamente que el modelo es estable
Fallar permite contacto, no valores negativos
Si 0 < 2κθ < σ², cero es alcanzable, pero la solución CIR estándar permanece no negativa
Con theta positiva, la frontera cero refleja instantáneamente en lugar de absorber de forma permanente
Por ello, violar Feller no vuelve inválida ni negativa por sí sola la ecuación diferencial estocástica
Heston aplica la misma prueba a la varianza
La varianza Heston sigue dv_t = κ(θ-v_t)dt + ξ√v_t dW_t y sustituye sigma por vol-of-vol ξ
Su condición común es 2κθ ≥ ξ²; el fallo permite tocar cero y puede aumentar la sensibilidad de frontera
Una calibración Heston aún puede usarse si falla, pero la interpretación y el cálculo exigen más cuidado
La discretización crea otro problema
Un paso Euler simple puede ser negativo aunque el proceso exacto sea no negativo y cumpla Feller
Truncación completa, métodos implícitos, esquemas cuadrático-exponenciales o transiciones exactas tratan distinto la frontera
Recortar negativos cambia el modelo simulado, por lo que deben probarse convergencia, sesgo y estabilidad de griegas
La calibración necesita diagnósticos de frontera
Conviene informar la razón 2κθ/ξ², no solo si pasa, y compararla entre fechas, medidas e incertidumbre paramétrica
Los parámetros físicos y neutrales pueden diferir porque la prima de varianza altera la reversión
Hay que probar rutas cercanas a cero, paso temporal, momentos de transición, errores de opción y cobertura
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la condición de Feller para CIR?
Para dX = κ(θ-X)dt + σ√X dW, la condición estándar de positividad estricta es 2κθ ≥ σ²
¿Qué ocurre si falla la condición de Feller?
El proceso exacto puede alcanzar cero, pero permanece no negativo en el CIR estándar con parámetros positivos
¿Exige Heston la condición de Feller?
No para todo uso de valoración, pero el fallo permite tocar cero y aumenta las cuestiones analíticas y numéricas
¿Por qué una simulación produce varianza negativa?
Un esquema discreto como Euler puede violar la frontera del proceso exacto y debe validarse por separado
Fuentes
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