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Dos expansiones gaussianas que suelen confundirse15 min de lectura
Expansiones Edgeworth frente a Gram–Charlier
Compara cómo usan cumulantes, por qué su orden es distinto y qué puede fallar al estimar precios de opciones y probabilidades de cola
Preparado por Mark · Fuentes principales al final
Respuesta directa
Gram–Charlier expande formalmente una densidad alrededor de una referencia usando diferencias de cumulantes. Edgeworth reorganiza correcciones de Hermite por orden asintótico. Edgeworth ofrece una lógica de error más clara, pero ninguna serie truncada es automáticamente una densidad válida
Ambas parten de una ley de referencia familiar
Tras estandarizar una variable, ambos métodos suelen escribir correcciones a la densidad normal con polinomios de Hermite
La asimetría crea una corrección desigual y el exceso de curtosis modifica hombros y colas frente a la referencia gaussiana
La notación compartida hace que parezcan intercambiables, aunque su derivación e interpretación son distintas
Gram–Charlier es una expansión formal
La serie de Gram–Charlier expresa la densidad objetivo mediante derivadas de una densidad de referencia y diferencias de cumulantes
Un truncamiento práctico puede conservar asimetría y curtosis por ser interpretables, no porque tengan un único orden de error controlado
La convergencia puede ser mala o inexistente, y añadir términos formales no garantiza mejorar la aproximación en un punto
Edgeworth se ordena por una escala asintótica
En sumas estandarizadas los cumulantes disminuyen a tasas conocidas en n y permiten agrupar correcciones por potencias como n^{-1/2}
El siguiente orden puede incluir el cuarto cumulante y el cuadrado del tercero, no solo el siguiente polinomio de Hermite
Un truncamiento Edgeworth solo tiene sentido con su secuencia, normalización y región de validez declaradas
Las fórmulas de opciones convierten momentos en correcciones
Puede integrarse un pago contra una densidad neutral al riesgo corregida o expandirse alrededor de Black–Scholes
Jarrow–Rudd desarrolla una expansión alrededor de una distribución elegida y Corrado–Su adapta correcciones Gram–Charlier de asimetría y curtosis
Los cumulantes inferidos de opciones son cantidades neutrales al riesgo, no predicciones directas de frecuencias físicas
Igualar momentos no controla las colas
Muchas distribuciones comparten los cuatro primeros momentos y asignan probabilidades muy distintas a caídas o subidas extremas
Las correcciones de Hermite crecen lejos del centro; un término pequeño cerca de la media puede dominar y oscilar en la cola
Los momentos superiores también son ruidosos y sus coeficientes dependen mucho del rango de strikes usado en la calibración
Una serie truncada puede no ser una distribución
La densidad aproximada puede ser negativa, no integrar uno o producir una CDF que decrece en parte del dominio
En opciones, esos defectos aparecen como precios fuera de límites o violaciones de monotonía y convexidad por strike
Renormalizar solo corrige la masa total; no recupera por sí solo positividad, media forward ni todas las condiciones de no arbitraje
Usa la expansión como diagnóstico local
Declara ley de referencia, estandarización, orden conservado, convención de cumulantes y región de strikes antes de interpretar coeficientes
Comprueba positividad y normalización, recupera el forward descontado y prueba monotonía y convexidad en una malla más amplia
Compara fuera de muestra con un modelo de densidad positiva o interpolación directa antes de extrapolar más allá de strikes líquidos
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia principal entre Edgeworth y Gram–Charlier?
Edgeworth ordena correcciones por una escala asintótica, mientras Gram–Charlier expande formalmente diferencias de cumulantes
¿Por qué ambas usan polinomios de Hermite?
Surgen de derivadas repetidas de la densidad normal y son portadores naturales de correcciones de cumulantes
¿Pueden cuatro momentos determinar una distribución de opciones?
No. Leyes con los mismos cuatro momentos pueden tener colas y precios de opciones lejanas diferentes
¿Basta con renormalizar una densidad negativa?
No. Puede corregir la masa mientras persisten negatividad, media forward errónea, CDF decreciente o arbitraje
Fuentes
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